Jean Piaget – L'œuvre
Fondation Jean Piaget

Stade 3: Le hasard maîtrisé

Un vrai mélange
Proportion et probabilité
Combinatoire et probabilité


Un vrai mélange

Qu’il faille attendre le stade des opérations formelles pour résoudre un problème apparemment aussi simple que celui du mélange de billes à l’intérieur d’une boîte (fig. 39) montre bien le risque qu’il y a de prêter aux enfants des notions qui, pour nous adultes, apparaissent triviales.

Dès qu’il est en possession des opérations combinatoires, et en l’occurrence de l’opération de permutation grâce à laquelle il parvient à se représenter l’ensemble des substitutions possibles de chacun des éléments d’une collection par un autre élément de la même collection, l’adolescent confronté au problème du mélange parvient à anticiper, ne serait-ce d’abord que grossièrement, les nombreuses intersections de trajectoires par lesquelles chaque bille peut occuper la place laissée par une autre bille, ainsi qu’à anticiper, toujours de façon grossière, la variété très grande des trajectoires possibles.

Il est clair alors que, muni de ces schèmes anticipateurs, il n’aura aucune peine à imaginer le désordre croissant que va provoquer la succession des inclinaisons de la boîte dans laquelle se trouvent les billes. La suite des événements est conçue comme irréversible parce que, les billes ne suivant pas des trajectoires fixes, il est très peu probable que l’on observe un retour à la première configuration.

L’étude de cette situation de mélange chez l’adolescent pourrait être approfondie. On pressent que, guidés par les schèmes combinatoires mis en évidence par d’autres recherches, et si la question leur avait été posée, les adolescents auraient pu construire plusieurs successions possibles de configurations.

De même, on pressent que si, au lieu de les interroger sur le retour à la situation de départ, la question avait porté sur la comparaison de la probabilité de ce retour par rapport à celui à l’avant-dernière configuration, les réponses auraient également été correctes (improbabilité moins grande du second dans la mesure où le croisement des trajectoires ne se distribue pas de façon égale sur toute la largeur de la boîte).

Une finesse d’analyse accrue face au trucage

A considérer la maestria dont font preuve les sujets de douze à quinze ans et plus dans des problèmes de déplacement spatial, de logique formelle, etc., on se doute qu’ils ne vont pas se laisser berner par la supercherie qui consiste à remplacer des jetons par d’autres dans la situation où il s’agit de prédire combien de jetons vont tomber en montrant une croix, et combien vont montrer un rond.

Cette expérience ne permet pas de dissocier clairement les aptitudes des adolescents à traiter des situations dans lesquelles intervient le hasard, de celles des enfants du stade opératoire concret.

Piaget et Inhelder soulignent simplement une série dindices qui tous montrent une intuition plus aiguë des probabilités en jeu dans les cas où les sujets doivent donner des estimations, comme par exemple dans la situation où l’on tire un jeton après l’autre du sac et que l’on demande au sujet s’il peut prédire s’il s’agit du sac contenant les jetons truqués, ou du sac contenant les jetons non truqués.

Mais pour avoir une réponse claire sur ce qui permet cet affinement des estimations de probabilité, il faut considérer d’autres situations dans lesquelles le sujet peut fonder ses jugements sur les nombres connus des sous-collections d’éléments variés présents dans une collection d’objets (fig. 42).

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Proportion et probabilité

La situation la plus simple mettant à jour les conditions opératoires permettant de formuler des estimations fondées sur les nombres de chaque collection d’événements considérés est celle du tirage au sort des jetons de différentes couleurs successivement retirés, seuls ou par couples, d’un sac (fig. 42).

Les adolescents n’ont plus aucune peine à fonder leur jugement non plus sur le nombre approximatif de jetons, mais sur le nombre précis de jetons de chaque couleur restant dans le sac, soustraction faite des jetons déjà sortis.
    Dans un cas très simple où il y a douze roses et six rouges, le sujet pourra ainsi dire, après avoir sorti un premier couple de deux roses, qu’il y a «toujours plus de chances pour les roses, mais moins qu’avant» (JP51, p. 140).

    Ce que contient ce jugement, c’est l’idée implicite que, pour juger de la probabilité d’extraire tel couple intuitivement le plus probable, il faut rapporter l’ensemble formant les couples les plus probables à l’ensemble des couples possibles, les deux ensembles se modifiant après chaque extraction.
Cette capacité de relier des rapports de probabilité à d’autres est d’ailleurs confirmée dans des problèmes de quantification où il s’agit de choisir entre deux collections, par exemple l’une formée de un jeton sur trois présentant une croix au verso, et l’autre de deux jetons sur cinq, celle offrant la plus grande chance de tirer un jeton comportant une croix.

Ce n’est qu’au troisième stade que l’on voit apparaître de façon systématique cet effort de mettre en relation des rapports, ce qui montre cette sensibilité aux rapports proportionnels mis en évidence dans les études sur la pensée formelle de l’enfant.

Quant à la capacité de mettre en rapport une configuration particulière avec l’ensemble des configurations possibles, telle qu’elle apparaît intuitivement dans la situation du tirage des couples, c’est l’étude des solutions apportées par les adolescents aux problèmes de combinatoire qui montre le mieux la nature formelle de ces solutions.

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Combinatoire et probabilité

La maîtrise des opérations combinatoires

Lorsque les sujets de onze à douze ans environ sont confrontés au problème combinatoire (fig. 43) de trouver l’ensemble des couples possibles formés par des jetons de couleurs différentes, extraits d’un certain nombre de collections de jetons contenant chacune des jetons d’une couleur (des rouges, des bleus, etc.), ils arrivent très vite à découvrir la méthode systématique qui consiste à associer chaque couleur de jeton avec, successivement, chacune des couleurs complémentaires restantes (en supprimant à chaque coup les couleurs déjà associées à la nouvelle couleur): AB, AC, AD, AE, etc., puis BC (BA est supprimé), BD, BE..., puis CD (CA et CB sont supprimés), CE, etc.

Les correspondances établies entre chaque couleur et les couleurs complémentaires sont d’une simplicité telle que l’on se demande pourquoi l’enfant des niveaux précédents ne trouvait pas la solution, sinon par un procédé empirique. C’est que la solution, pour être opératoire, exige que chacun des systèmes de correspondance soit mis en rapport avec chacun des autres:
    «[...] pour construire le système de toutes les combinaisons deux à deux possibles dans le cas de n termes, il s’agit de coordonner entre elles plusieurs séries ou correspondances différentes et d’anticiper le schéma de leurs rapports avant de les construire effectivement» (JP51, p. 185).
La maîtrise complète de l’aléatoire, qui exige des mises en correspondance de mises en correspondance, relève ainsi bien de la pensée formelle qui, au moyen de propositions formulées ou non, peut anticiper les rapports avant de les construire effectivement (mais qui sait bien sûr s’appuyer aussi sur des constructions partielles pour parvenir à trouver le schème anticipateur approprié à une situation).

Le rôle de la combinatoire dans la maîtrise du hasard

Il apparaît en définitive que les opérations combinatoires jouent un rôle essentiel dans la maîtrise complète du hasard pour la bonne raison que ce sont elles qui permettent au sujet de rapporter une configuration particulière, produite au hasard, c’est-à-dire de façon telle qu’il n’est pas possible de démontrer que cette configuration découle d’une précédente, à l’ensemble des configurations possibles dont cette configuration est alors un cas particulier.

Les opérations combinatoires ne vont pas permettre de rationaliser le hasard au point de le faire disparaître. Lorsque cela est possible, elles vont simplement fournir le moyen de réaliser le calcul permettant de quantifier la probabilité d’apparition d’un phénomène.

L’étude des opérations combinatoires, qui clôture les enquêtes de Piaget et Inhelder sur la genèse de l’idée de hasard, montre finalement en quoi la compréhension complète de cette notion exige la pensée formelle.

Les recherches plus générales, réalisées simultanément ou presque, sur le passage de la pensée de l’enfant à la pensée de l’adolescent ont quant à elles montré comment les schèmes combinatoires, qui sous-tendent l’organisation ou l’assimilation des données intervenant dans les situations indéterminées, reposent sur une combinatoire interne au sujet, portant non plus sur des objets ou des configurations extérieures, mais sur les associations de propositions que le sujet peut formuler par rapport à quelque réalité que ce soit qui fasse sens pour lui.

C’est donc ultimement les découvertes exposées dans l’ouvrage sur la logique de l’adolescent (JP55) qui font comprendre les raisons pour lesquelles seules la pensée formelle peut achever la genèse de la notion de hasard, du moins sous la forme non théorisée qui est le propre d’une pensée naturelle encore toute engagée dans la démarche spontanée, non "professionnalisée", d’explication et de transformation du monde.

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[…] la grande illusion du sens commun est de croire qu’on s’installe dans l’objet ou qu’on saisit l’objet par des voies plus directes qu’on ne constitue des réunions d’objets. Or, génétiquement, la notion générale de l’objet s’élabore exactement de la même manière que les collections d’objets et cette construction n’est ni plus aisée ni plus précoce dans un cas que dans l’autre.