Jean Piaget. Présentation de l'oeuvre
Fondation Jean Piaget

Epistémologie du nombre: Introduction


Le nombre est, avec l’espace, l’une des deux catégories les plus importantes de la science mathématique, au moins en ce sens que toute l’histoire de celle-ci part de ces deux notions (et des deux sous-disciplines dont elles sont alors l’objet: l’arithmétique et la géométrie).Le nombre se trouve d’ailleurs à lui seul au coeur de la mathématique, que ce soit au point de départ (avec les pythagoriciens) ou au "point d’arrivée", avec, par exemple, les deux problèmes du fondement de l’arithmétique et du continu.

Les problèmes de la fécondité et de la nécessité de l’arithmétique

Le nombre et la science qui le concerne portent en eux tout le mystère de la science pure, comme le montre la constance avec laquelle les écoles ésotériques les plus diverses ne cessent de l’invoquer lorsqu’elles s’essaient à capturer ce qui n’est certainement que chimère.
    Voilà en effet un "objet" qu’il est impossible de toucher, de voir, ou de saisir, et qui pourtant va progressivement se révéler au cours de l’histoire des sciences comme la clé de l’univers physique. Voilà aussi une "réalité" qui illustre l’extraordinaire puissance créatrice de l’esprit, et qui en même temps est l’une des plus contraignantes qui soient, celle dont les lois ont offert depuis des siècles un modèle de permanence et d’harmonie.
En plus des problèmes épistémologiques qui les concernent plus particulièrement, dont celui de la signification du nombre, le nombre et l’arithmétique sont ainsi des objets d’étude privilégiés pour apporter quelques éléments de réponses à deux grandes questions qui traversent tout le champ de la mathématique: celle de la fécondité et celle de la nécessité.

La pensée arithmétique (et plus généralement la pensée mathématique) est en effet la plus féconde qui soit. Son pouvoir de création est illimité et cela aussi bien au sein d’un système de nombres, que dans la capacité d’engendrer de nouveaux systèmes (le passage des nombres entiers au nombres rationnels, par exemple). Elle l’est l’une des meilleures illustrations du pouvoir créateur de la pensée humaine. Mais en même temps, elle offre l’image d’une nécessité implacable. Il y a là un paradoxe que Piaget s’efforcera d’expliquer à partir des enquêtes psychogénétiques.

Nombre, opération et structure

Si le nombre est, avec l’espace, l’une des deux notions ou l’une des deux réalités sur lesquelles s’est construite toute la science mathématique, il convient pourtant de noter qu’il est peu à peu passé au second plan, sauf naturellement dans les sous-disciplines de la mathématique dans lesquelles il est toujours explicitement question de lui (théorie des nombres notamment).
    La première grande étape qui a vu le nombre s’effacer quelque peu de la scène mathématique est liée à l’essor de l’algèbre et des équations algébriques au seizième siècle: les nombres sont représentés par des variables symboliques, ce qui a pour effet de faire placer au premier plan les opérations elles-mêmes.

    Une seconde étape achèvera ce passage au premier plan de l’algèbre lorsqu’au dix-neuvième siècle les mathématiciens prendront conscience des structures qui lient ensemble les opérations algébriques, et donc, en particulier, les opérations arithmétiques.

    Cette seconde découverte sera elle-même complétée par une troisième, celle de l’existence de profondes similitudes entre les structures de l’algèbre numérique et celles qui sont sous-jacentes à des opérations qui relèvent d’un tout autre domaine, tel que celui des opérations géométriques.
Lorsque Piaget a abordé la genèse du nombre chez l’enfant, au début des années vingt, il est probable qu’il ignorait ces chapitres récents de la pensée mathématique.

Mais lorsqu’il en prendra connaissance, il constatera immédiatement que l’importance des structures, qui devient de plus en plus manifeste dans les progrès de la mathématique au début du vingtième, ne vaut pas que pour les chapitres de la science mathématique qui succèdent à l’ancienne arithmétique, mais également pour ceux qui conduisent à la construction du nombre naturel, puis du nombre entier. Cela le conduira à poser le problème des rapports entre les structures de l’intelligence et les structures mathématiques.

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[…] Le temps intérieur n’est pas la forme primitive du temps […] le schème pratique du temps s’élabore dès le niveau de l’intelligence sensori-motrices […] la forme originelle du temps est un schème dépendant à la fois de l’organisation de l’univers physique et de l’action propre, donc un temps égocentrique, ce qui ne signifie nullement interne à l’état pur.