Jean Piaget. Présentation de l'oeuvre
Fondation Jean Piaget

Les origines du nombre

Les solutions classiques
Le réductionnisme logique
La solution génétique


Les solutions classiques

Lorsque Piaget s’est intéressé à la psychogenèse du nombre, c’est-à-dire dès le début de ses recherches en psychologie, dans les années vingt, son intention était certes de connaître comment l’enfant parvenait à acquérir la notion de nombre, mais par delà cette intention, il s’agissait bien pour lui de répondre à la question épistémologique concernant le nombre lui-même.

Qu’est-ce que le nombre? Quelle est son origine? Telles étaient deux des grandes interrogations sur lesquelles se confrontaient les plus grands mathématiciens de la fin du dix-neuvième siècle, sans parvenir à se mettre d’accord sur des réponses autres que de définition technique. Piaget avait connaissance de ces réponses lorsqu’il réalisait ses recherches sur le nombre.

Parmi les solutions possibles, il y a celle qui part du constat de l’accord entre la pensée mathématique et la réalité physique. Comment se fait-il que les opérations que l’on effectue sur les nombres permettent de prédire et d’expliquer les phénomènes physiques?

Cet étonnant accord suggère une réponse immédiate à la double question de l’origine et de la signification. Les nombres et les opérations numériques, en un mot la pensée arithmétique, ne seraient rien d’autre que le reflet de propriétés de la réalité extérieure, et notamment d’additions ou de soustractions d’objets que le sujet verrait se produire à l’extérieur, et qu’il reproduirait ensuite mentalement.

Empirisme et conventionnalisme

Cette solution, qui est celle de l’empirisme, n’est guère convaincante dans la mesure où la pensée arithmétique s’impose avec une nécessité trop grande pour que l’ensemble des mathématiciens se rangent à la thèse d’une origine empirique.

Une solution moins spontanée et qui prolonge la précédente pourrait être celle du conventionnalisme: Un certain nombre de conventions, suggérées par l’expérience, pourraient être fixées comme point de départ. De ces conventions ou postulats serait ensuite déductivement tiré tout l’édifice de la mathématique des nombres.

Le conventionnalisme est une solution attirante dans la mesure où il paraît rendre compte à la fois de l’adéquation de l’arithmétique à la réalité et de la nécessité interne propre à la pensée arithmétique. Seulement il ne peut pas expliquer la résistance à travers l’histoire de la pensée humaine du choix des postulats de base.

Que les premières déductions tirées des postulats suggérés par d’anciennes expériences avec la réalité physique puissent adéquatement représenter les régularités du monde extérieur, c’est possible. Mais que des déductions beaucoup plus lointaines continuent à s’accorder avec le réel, voilà qui reste étonnant et mystérieux.

Empirisme psychologique

Une autre solution d’orientation empiriste est de choisir non pas la réalité extérieure comme base à partir de laquelle l’arithmétique se construirait, mais de partir de la succession des états de conscience, ou encore de la notion de successeur. Cette thèse, qui s’appuie en partie sur celle de Kant liant la construction du nombre à l’intuition du temps, ne dit rien quant à l’accord des lois numériques avec le monde physique. D’autre part c’est seulement le nombre ordinal qui est concerné par elle. Qu’en est-il alors du nombre cardinal?

Ce qui en tout cas n’a pas manqué de frapper Piaget dans les solutions apportées par les philosophes et mathématiciens du passé au problème de l’origine du nombre est qu’aucune d’entre elles ne repose sur une étude effective de sa genèse, étude qui aurait permis pourtant de les confirmer ou des les infirmer, ainsi éventuellement que de les compléter.

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Le réductionnisme logique

Le problème de l’origine restait si mystérieux à la fin du siècle passé que le mathématicien Kronecker n’hésitait pas à affirmer que le nombre naturel, sur lequel tout l’édifice mathématique pouvait être ensuite construit, était le seul don mathématique fait à l’homme par le créateur.

Une piste autrement plus sérieuse allait toutefois s’ouvrir vers 1900. Du point de vue scientifique, il y a en effet deux grandes manières d’aborder ce problème.
    La première est celle empruntée par Piaget: étudier la psychogenèse (ou l’histoire des sciences, si les matériaux le permettent).

    La seconde est la manière mathématique. Elle consiste à rechercher par des voies purement logiques, et notamment par l’outil de l’axiomatisation, quels sont les composantes de base sur lesquelles une certaine science peut être édifiée. C’est la recherche des fondements logiques ("logiques" au sens où ce sont des concepts et des règles de déduction qui sont en jeu, et qu’il n’intervient par principe aucune observation empirique dans ce travail).
C’est la solution adoptée par Russell, qui, avec l’aide du mathématicien Whitehead, va reprendre et poursuivre la recherche sur les fondements de l’arithmétique, réalisée par le logicien Frege à la fin du dix-neuvième siècle (la découverte d’un paradoxe logique apportant la contradiction à la base de tout l’édifice mathématique construit par Frege avait détourné celui-ci de cette recherche).

La réduction de l’arithmétique à la logique

La solution apportée par Russell à ce problème de fondement est presque triviale. Elle est basée sur la distinction entre les deux notions usuellement liées de nombre cardinal et de nombre ordinal. Une fois cette séparation effectuée, il devient facile de définir la notion arithmétique de nombre cardinal au moyen de la notion logique de classe, et la notion de nombre ordinal au moyen de la notion d’ordre.

Le nombre cardinal d’une collection d’objets est le nombre d’objets que contient cette collection. Le nombre ordinal s’applique lui à une suite d’objets. Le nombre ordinal d’un objet appartenant à une suite d’objets est le rang occupé par cet objet dans la suite. Par exemple, soit la suite des étages d’un immeuble de quatre étages, le nombre ordinal des appartements de l’avant-dernier étage est "troisième".

Définition logique des nombres cardinaux et ordinaux

La thèse de Russell consiste à affirmer que le nombre cardinal d’une classe d’objets est la propriété commune que partagent toutes les classes qui peuvent être mises en correspondance terme à terme avec elle. Soit la classe des apôtres, pour reprendre l’exemple classique choisi par Russell pour illustrer sa thèse. Définir l’ensemble des classes qui peuvent être mises en correspondance terme à terme avec cette classe de départ, c’est déterminer une nouvelle classe: la classe des classes qui peuvent être mises en correspondance terme à terme avec la classe des apôtres. Le concept qui correspond à cette classe de classes est le nombre cardinal douze.

Une démarche similaire peut être suivie pour les nombres ordinaux. Chaque nombre ordinal peut être alors défini comme la classe des séries ordonnées dont les éléments peuvent être mis en correspondance de telle sorte que les relations d’ordre soient respectées dans chacune des séries.

L’intérêt de la solution de Russell (et de Frege) est double.
    D’abord, il apparaît que chaque nombre naturel peut être défini indépendamment de tout autre nombre naturel. Il suffit de partir d’une classe quelle qu’elle soit et de définir de manière purement logique le nombre qui lui correspond par le procédé décrit plus haut.

    Ensuite, elle paraît justifier la thèse selon laquelle le concept de nombre est réductible au concept de classe. Si cette dernière thèse était valide, il en résulterait la réduction formelle de toute la mathématique à la logique, et telle était bien la visée de Frege et de Russell dans leurs études sur les fondements des mathématiques.
Une certaine pertinence psychologique

Bien qu’opposée à la thèse constructiviste tirée des enquêtes sur le développement du nombre chez l’enfant, la conséquence atomistique qui découle de la solution de Russell n’est pas complètement contraire aux faits observés par Piaget et ses collaborateurs du Centre d’épistémologie, ainsi qu’en psychologie animale où les recherches conduites par Köhler avaient montré que des perruches peuvent apprendre les nombres "perceptifs" de manière isolée.

Ces faits seront pourtant contrebalancés par d’autres constatations apportées par les études psychogénétiques, là où il est question non pas du nombre empirique, mais du nombre opératoire. Mais avant d’aborder les résultats de ces études, il convient de dire un mot sur la querelle scientifique que va déclencher l’autre conséquence des travaux de fondement de Frege et de Russell, ainsi que sur la solution adoptée par Poincaré, auteur qui était à la tête des critiques adressées au réductionnisme logique.

L’apriorisme de Poincaré

Pour séduisante qu’elle soit, la solution défendue avec force par Russell va l’entraîner dans une mémorable polémique avec le grand Poincaré. Celui-ci, à la différence de Russell était mathématicien dans l’âme. Refusant les conséquences des travaux de fondement, et notamment les paradoxes logiques qui en résultaient (l’introduction de la contradiction au sein de la théorie des ensembles), il va dans une série de petits articles épistémologiques pointer ce qui fait problème dans ces travaux: la tentative de réduire la notion de nombre à de purs concepts logiques. La suite des recherches sur les fondements démontreront la justesse de sa critique.

Mais Poincaré ne s’est pas contenté de critiquer les résultats de Russell. Il oppose à la thèse de celui-ci sa propre solution, certes en grande partie spéculative, qu’il avait commencé à soutenir vers 1895, selon laquelle l’arithmétique est basée sur trois intuitions apriori fondamentales: l’intuition de l’unité, celle de la récurrence (chaque nombre est construit à partir du précédent par addition de l’unité,) et enfin celle de l’induction mathématique (fondement de la démonstration mathématique).

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La solution génétique

Au moment où Piaget reprend à son compte le problème de l’origine du nombre, les effets de la querelle amicale entre Poincaré et Russell relativement à ce problème, querelle qu’il connaît bien, ne sont pas encore dissipés et les mathématiciens ou les philosophes continuent de se ranger dans l’un ou l’autre des deux camps.

En tous les cas cette querelle montrait que la question de l’origine et de la signification du nombre restait entière et elle ne pouvait que l’inciter à aller de l’avant dans son projet d’épistémologie du nombre, ce d’autant plus que plusieurs des solutions en présence ne cessaient d’évoquer l’expérience ou l’intuition psychologique des mathématiciens ou de leurs précurseurs dans l’histoire de l’humanité:

Dans leurs recherches sur les fondements, certains mathématiciens avaient par exemple explicitement reconnu que le procdé de correspondance terme à terme, l’un des piliers de la mathématique, était une très lointaine invention de cette histoire. Auraient-ils pris attention aux conduites des jeunes enfants qu’ils auraient pu découvrir que cette invention est probablement plus "ancienne" encore, si l’on s’accorde sur cette superbe affirmation de Piaget selon laquelle "l’enfant est le père de l’homme".

Sur l’impossibilité de séparer les nombres cardinaux et ordinaux

Qu’apportent les résultats des études psychogénétiques relativement au problème de l’origine et de la signification du nombre? D’abord ils infirment en partie la totalité des thèses jusqu’alors formulées, à l’exception d’une seule, qui avait été suggérée par Brunschvicg dans son ouvrage sur les "Etapes de la philosophie mathématique" en réponse à la solution réductionniste de Frege et Russell.

Brunschvicg s’appuyait sur une analyse des «fonctions psychosociologiques dont la mathématique est issue» (p. 461) pour en conclure à «l’impossibilité de séparer l’ordination et la cardination – la série des actes successifs par lesquels l’esprit parcourt chacun des éléments, et la synthèse qui rassemble ces actes divers dans l’unité d’un objet intellectuel» (p. 478).

L’examen du développement de la pensée numérique de l’enfant va amplement confirmer les premières conclusions de Brunschvicg en les enrichissant de tout l’apport que peuvent fournir la méthode psychogénétique et l’analyse structurale qui l’accompagne.

Les faits psychogénétiques

Le premier fait important ici est l’étroit parallélisme qui existe entre la construction progressive du nombre opératoire d’un côté, des classes et des relations logiques de l’autre côté. En plus de ce parallélisme, certaines réponses des enfants préopératoires montrent comment la conception qu’il se font de l’unité arithmétique est faussement assimilée à des caractéristiques logiques:
    Prendre un objet d’une collection où il y en a beaucoup pour l’ajouter dans une autre, c’est prendre plus que lorsque le même objet est pris dans une collection où il y en a moins.

    De même l’écart numérique entre un jeton et son successeur dans une série peut être jugé inférieur au même écart entre un jeton précédent de la série et son propre successeur (comme si la numérosité avait plus de poids au début de la série des nombres, une intuition qui peut d’ailleurs se conserver plus tard).
L’enfant ne comprendra véritablement le nombre que lorsqu’il comprendra la notion d’unité numérique (c’est d’ailleurs ce qu’avait bien vu Poincaré, sa seule erreur étant de croire que cette intuition de l’unité numérique est donnée dès le départ).

Comment l’enfant parvient-il à dissocier l’unité numérique de la notion indissociée de "un" utilisée dans l’addition des classes (ajouter un cheval à la classe des chevaux)? Comment accédera-t-il à la notion de successeur numérique?

Passage du logique au numérique

L’entrelacement des réponses que l’enfant donne aux différentes questions que lui pose le psychologue, ainsi qu’aux différentes étapes de son développement (extrapolées à partir de l’examen des populations d’enfants étudiés), suggère qu’il parvient simultanément aux notions d’unité et de successeur numériques par "l’abstraction mathématique" qu’il peut faire des qualités logiques des objets (Brunschvicg, "Les étapes de la philosophie mathématique", 1912, p. 467): un cheval, membre de la classe des chevaux, ne se distingue pas des autres membres, en tant que cheval s’entend. Il en résulte qu’ajouter un cheval à une classe fait en quelque sorte dissoudre son idée dans le concept général qui le subsume.

Il en va autrement de l’unité numérique. Comment se fait-il que chaque objet, chaque unité, d’une classe numérique ne se dissolve pas dans le concept générique? C’est qu’au moment où l’enfant ajoute une nouvelle unité à la classe numérique des n objets déjà rassemblés, cette nouvelle unité est considérée comme le (n+1)-ième objet de la classe ainsi augmentée d’un élément non plus logique mais numérique.

C’est l’ordre successif dans lequel les éléments d’une collection sont considérés, ou l’ordre successif de l’opération d’inclure un nouvel élément dans cette collection, qui permet de faire abstraction des qualités de l’objet ajouté, tout en continuant à le distinguer des autres éléments. De même, le n-ième élément d’une série se distingue du (n-1)-ième par le fait que l’enfant considère l’ensemble des n-1 éléments déjà rangés lorsqu’il pense le n-ième.

Piaget entre Russell et Poincaré

Le parallélisme de développement du nombre, de la classe et de la sériation, de même que l’analyse fine des conduites et des jugements des enfants, permettent ainsi de donner en partie raison à Russell: il y a bien un lien de filiation logique entre l’arithmétique et la logique.

Pourtant ils donnent aussi en partie raison à Poincaré: l’intuition de l’unité arithmétique n’est pas l’intuition du un logique. Mais pour n’être réductible ni à la classe ni à la relation logique, le nombre n’en est pas moins le résultat d’une synthèse entre ces deux composantes de base de la logique.

C’est cette synthèse (progressive!) qui permet à chaque objet qualifié de perdre ses qualités dans le dénombrement, tout en ne cessant pas d’être distingué des autres objets dénombrés. Telle est donc l’origine du nombre que Kronecker attribuait à Dieu. Sa signification en est aussi passablement éclaircie puisque la psychogenèse montre que le nombre a à la base un rôle tout pratique.

Il reste pourtant encore un point à éclaircir au sujet de l’origine du nombre.

La nature de l’expérience mathématique

Si le nombre prend racine dans des activités pratiques telles que celle de dénombrement, et plus généralement dans les expériences de l’enfant ou de notre lointain ancêtre s’efforçant de juger la quantité numérique des collections d’objets ou d’êtres que tous deux considèrent, ne faut-il pas en conclure que le nombre a, ainsi que le voulait l’empirisme, une origine empirique, mêlant certes l’action du sujet et les caractéristiques des collections d’objets considérées?

Une première réponse à cette question tiendra dans la distinction faite par Piaget entre deux types d’expérience: 1. l’expérience physique, qui consiste à étudier les propriétés des objets physiques, et 2. l’expérience mathématique ().

Dans celle-ci, c’est le sujet qui introduit de l’ordre dans la réalité extérieure. Et aux yeux de Piaget, c’est bien ce qui se passe lorsque l’enfant ou le berger rassemble des objets pour les compter: l’action en question n’est pas une action physique (même si elle s’appuie sur de telles actions) dans la mesure où ce n’est pas une loi physique qui explique la réunion alors réalisée; c’est une action logico-mathématique, et de telles actions, seuls des sujets peuvent les accomplir.

Mais cette réponse pose alors deux problèmes: celui de la nécessité et celui de l’utilisation que fait la physique de la mathématique en tant que meilleur instrument d’explication des phénomènes physiques.

Là encore Piaget apportera des solutions. L’une est fermement ancrée sur le terrain de l’étude psychogénétique; l’autre, un peu plus spéculative, porte sur l’accord général entre les structures mathématiques et le monde physique.

L’accord des mathématiques avec la réalité physique trouverait un début de solution grâce à ce que permet de conclure l’examen des rapports entre les structures mathématiques des mathématiciens et les structures logico-mathématiques sous-jacentes à la pensée humaine. Ces rapports sont-ils de filiation? d’axiomatisation? C’est ce que l’on va voir.

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Si paradoxal que cela paraisse, la durée relative et les temps propres de la théorie einsteinienne sont ainsi au temps absolu ce qu’est celui-ci aux temps propres ou locaux de l’intuition enfantine (ainsi qu’au temps propre dont Aristote a fait l’hypothèse en des passages que l’on interprète parfois bien à tort comme annonçant la relativité moderne). Dans les deux cas, en effet, le temps apparaît comme une coordination des vitesses…