Fondation Jean Piaget - Logique - Les groupements de classe
Fondation Jean Piaget

Les groupements de classe

Introduction
L’opération d’addition des classes
Le groupement d’addition des classes
Le groupement des vicariances


Introduction

Une classe est l’extension d’un concept. Par exemple au concept de "siège" correspond la classe des objets qui sont des sièges. Du point de vue de la construction des classes par le sujet, les premières classes sont le résultat de la possible substitution d’un objet à un autre par rapport à un schème d’action, laissant inchangé le résultat de l’action (en l’occurrence, l’action de s’asseoir). Cette possible substitution permet en effet au sujet d’un certain niveau de développement de concevoir l’équivalence qualitative entre les objets considérés. L’extension correspondant à cette équivalence qualitative est une classe.

Notons dès l’abord l’originalité de Piaget. Là où le logicien chercherait immédiatement à fournir une définition abstraite, il part de ce que lui fournissent les nombreux faits recueillis sur le terrain de la psychologie génétique et condensés dans une théorie génétique de l’action et de la pensée incluant la notion empirique d’une logique de l’action et de la pensée.

Le travail auquel le psychologue logicien procède alors revient à expliciter, sans avoir à la respecter dans ses détails empiriques, la réalité logique impliquée dans l’objet "psycho-logique" étudié par le psychologue. C’est probablement la même démarche qu’adoptent les logiciens de métier lorsqu’ils ne considèrent pas seulement le résultat d’une activité de pensée (une théorie mathmatique par exemple), mais également cette activité.

La différence est que, préalablement ou conjointement au travail de schématisation ou d’axiomatisation logique, Piaget accomplit une étude empirique systématique de l’objet considéré. C’est ce qui fait la valeur de sa logique et qui pourrait bien lui assurer une place dans l’histoire de cette science.

Soit maintenant des classes symbolisées par A1, A2, A3, etc., quelles sont les opérations qui peuvent être engages par rapport à elles? Nous n’allons pas résumer ici la logique des classes élaborées par Piaget, mais seulement nous efforcer d’en donner une première idée.

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L’opération d’addition des classes

Les opérations qui peuvent être accomplies par rapport à un certain nombre de classes sont, ainsi que l’ont affirmé les logiciens algébristes, l’addition et la multiplication, ainsi que leur inverse. Piaget a d’autant moins de peine à suivre ici ces logiciens qu’il a pu non seulement découvrir la présence de telles opérations chez les enfants, mais que, comme biologiste, il a lui-même réalisé un travail conscient de classification des formes biologiques, travail dans lequel ces opérations ne cessent d’intervenir.

Dès lors il n’a aucune difficulté à percevoir que celles-ci offrent des différences remarquables par rapport aux opérations arithmétiques de même nom. Comment additionne-t-on logiquement des classes? Pour s’en tenir à cette opération qui est la plus élémentaire, le travail de réflexion et de schématisation réalisé par l’auteur le conduit à la définition suivante.

L’addition, ou l’union, de classes est l’opération qui consiste «à réunir deux classes équivalentes dans la plus petite des classes du point de vue desquelles ces deux classes sont équivalentes» (JP42, p. 22). L’addition de classes ne peut ainsi se faire qu’en fonction d’un concept ou d’une relation d’équivalence qui permet cette addition.

Si l’on peut additionner la classe des chiens, disons A1, et la classe des chats, A2, c’est que ces deux classes sont équivalentes du point de vue de la classe des animaux, disons B1 (B2 pouvant par exemple représenter les végétaux). A1 et A2 sont mutuellement substituables l’un à l’autre part rapport à B1. Ils sont vicariants et sont en relation d’altérité.

En dépit du caractère apparemment gratuit de cette action, on peut aussi additionner une classe à elle-même, par exemple la classe des chiens à la classe des chiens. En ce cas le concept englobant est le même que celui correspondant à la classe additionnée à elle-même, et l’addition n’ajoute rien à la classe de départ (la classe des chiens additionnée à elle-même donne la classe des chiens). L’opération d’addition se réduit alors à une tautologie.

Une remarque peut être faite au sujet de l’addition de classes ne se réduisant pas à une tautologie. La classe B1 du point de vue de laquelle sont considérées A1 et A2 pour être additionnées n’est généralement pas le résultat de leur addition (réunis dans une même classe, les chiens et les chats ne forment qu’une partie de la classe des animaux). Elle peut aussi inclure des classes A3, A4, etc.

En soustrayant à la classe B1 l’une des classes qui la composent, par exemple A1, on obtient un nouveau type de classes, dites «secondaires» (JP42, p. 22), ou, dans un langage plus conforme aux mathématiques contemporaines, «complémentaires» (JP72a, p. 80).

Ainsi la complémentaire de A1 par rapport à B1, obtenue par la soustraction B1 - A1 est-elle la classe A1'; dans l’exemple il s’agit de la classe des animaux moins celle des chiens. Ces classes secondaires peuvent à leur tour faire l’objet d’un certain nombre d’opérations. L’examen de ces opérations, ainsi que celui des opérations agissant sur les classes primaires, permet alors à Piaget de mettre en évidence quatre groupements, deux portant sur l’addition des classes, et deux autres sur leur multiplication.

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Le groupement d’addition des classes

Considérons à titre d’exemple, et de façon très sommaire par rapport aux distinctions que Piaget introduit dans son analyse logique, les deux groupements additifs les plus simples. Le premier, le plus élémentaire, concerne l’addition des classes primaires.

Soit une suite de classes primaires obtenues par addition à chaque classe de départ de la classe secondaire qui lui correspond, par exemple les chats domestiques plus les félins non-chats (A1+A1'= B1), les félins plus les carnassiers non félins, les carnassiers plus les mammifères non carnassiers, etc. (dans cet exemple, A1 représente la classe des chats domestiques, B1 celle des félins). L’opération inverse de l’addition est bien sûr la soustraction qui permet, à partir par exemple des félins de retrouver les chats domestiques: B1 - A1' = A1.

L’analyse des liens entre les opérations additives et soustractives des classes primaires montre qu’elles forment un groupement dans le sens où elles obéissent aux lois de composition, d’inversion, d’associativité et d’existence de deux formes d’opérations identiques, caractéristiques de la structure mathématique propre à tout groupement.

La composition des additions

La composition de deux opérations produit une nouvelle opération appartenant au même groupement: (A1 + A1' = B1) composée avec (B1 + B'1 = C1) est égale à l’opération (A1 + A1' + B1' = C1). Psychologiquement elle signifie qu’il revient au même de réunir les chats domestiques avec les félins qui ne sont pas des chats domestiques pour obtenir les félins, puis de réunir ces derniers avec les carnassiers non félins pour obtenir enfin la classe des carnassiers, que de réunir les chats domestiques avec les félins qui ne sont pas des chats domestiques en leur ajoutant les carnassiers non félins.

De même [(B1 - A'1 = A1) + (C1 - B1' = B1)] = [(C1 - (A1' + B1') = A1].

On peut observer que, en dépit d’une certaine similitude, composer des additions de classes ne revient pas à composer des additions de nombre en ce sens que, pour les classes, le point de départ de l’une des deux opérations composées doit être le point d’arrivée de l’autre.

Ce qui signifie qu’en logique, contrairement à ce qui se passe en arithmétique, les éléments composés sont soumis à des contraintes de proximité ou de connexité (en arithmétique, on peut composer sans problème 3 + 2 = 5 avec l’opération 4 + 7 = 11). En logique, ajouter la classe des crayons à la classe des souris n’a pas de sens.

On observera aussi que, par opération, au moins au départ de son analyse, Piaget entend chaque acte global de l’esprit par lequel celui-ci additionne, ou soustrait, deux ou plusieurs termes, y compris son résultat. Des considérations supplémentaires lui permettent en certains cas précis de réaliser des simplifications qui lui font retrouver la notion plus commune d’opération (par exemple les opérations + A1', - B1', etc.).

Une interprétation psychologique des propriétés de composition

Inspirée de la théorie mathématique des groupes, la description par Piaget de la loi ou de la propriété de composition de l’addition ou de la soustraction logique reflète à l’évidence le souci de l’auteur d’établir un lien entre l’objet de la science logique et celui de la science psychologique.

Il en va de même dans son analyse de la propriété d’associativité que manifeste le groupement d’additions de classes primaires.

Soit, par exemple, trois opérations d’addition de classes x, y et z qui respectent les conditions permettant leur composition. Il revient au même de composer d’abord la première avec la seconde, puis l’opération résultante avec la troisième, que de composer d’abord la deuxième et la troisième, l’opération résultante étant à son tour composée avec la première. En termes symboliques abrégés: (x + y) + z = x + (y + z).

Si l’on prend l’exemple des chats domestiques, des félins et des carnassiers, il revient au même (1) de composer d’abord l’addition des chats domestiques et des félins non domestiques avec l’addition des félins et des carnassiers non domestiques, puis de composer l’opération d’addition qui résulte de cette première composition avec l’addition des carnassiers et des mammifères non carnassiers, que (2) de composer l’addition des félins et des félins non carnassiers et l’addition des carnassiers et des mammifères non carnassiers, pour ensuite composer l’addition des chats domestiques et des félins non domestiques avec l’opération résultant de la composition de départ. En termes symboliques complètement développés: [(A1+A1')+(B1+B1')]+[C1+C1'] = [A1+A1']+[(B1+B1')+(C1+C1')].

L’axiomatisation à laquelle aboutit l’analyse de Piaget n’est nullement gratuite. Elle peut correspondre à des processus logiques réels mis en oeuvre, par exemple, dans les activités de classification des animaux. Avant de découvrir les sous-classes An d’une certaine classe B1, le biologiste pourrait avoir découvert d’abord les classes B1, C1 et D1. Lorsque plus tard il découvrira les sous-classes An, sa connaissance implicite de la propriété d’associativité lui évitera de reprendre à zéro son travail de classification.

La coordination des opérations directes et inverses

La signification des opérations inverses dans le groupement additif des classes primaires est évidente. Par exemple, ayant ajouté les félins non domestiques à la classe des chats domestiques, il est toujours possible de retrouver celle-ci en soustrayant aux félins la classe des félins qui ne sont pas des chats domestiques.

Une telle opération inverse paraît banale. Pourtant le petit enfant ne parvient pas à la mettre en oeuvre sans anéantir la classe de départ (dans l’exemple, les félins), alors qu’il est bien évident à l’adulte que la classe des félins B1 n’a pas perdu un seul membre lorsque, de cette classe, il soustrait A1' pour produire A1 (de même que le nombre 7 n’est pas modifié lorsqu’on lui soustrait 4).

Une opération ne modifie pas l’élément sur lequel elle agit mais construit à partir de lui un nouvel élément qui a alors une certaine relation (pour les classes: l’inclusion) avec l’élément de départ!

Que se passe-t-il alors lorsque l’on compose une opération directe avec son inverse, c’est-à-dire une addition de classe avec la soustraction qui lui correspond? On obtient la classe nulle: (A + A') + (- A - A') = 0.

La classe nulle permet quant à elle de vérifier l’existence d’une opération identique au sein du groupement additif des classes primaires: A + 0 = A. (La présence d’une opération identique est l’une des conditions de l’existence d’un groupe ou d’un groupement mathématique.)

Des opérations identifiques spéciales

On peut par ailleurs constater une particularité de l’addition de classes par rapport à l’addition numérique. Ce n’est pas seulement l’addition de la classe nulle à toute autre classe qui donne cette autre classe comme résultat. C’est aussi l’addition de toute classe à elle-même: la classe des chiens plus la classe des chiens égale la classe des chiens, ni plus ni moins. Soit: A + A = A.

On constate ainsi l’existence au sein du groupement des classes de la présence, au côté de l’existence d’une opération identique générale (+ 0), de l’existence pour chaque classe considérée, d’une opération identique spéciale qui n’est autre que l’addition de cette classe à elle-même. C’est là une des caractéristiques des groupements par rapport aux groupes.

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Le groupement des vicariances

Etant entendu que les opérations sur les classes primaires obéissent aux lois de la structure de groupement, il est possible d’établir un calcul de ces classes qui s’apparente au calcul numérique, à la réserve près que le premier doit refléter les particularités du groupement par rapport au groupe (composition et associativité limitées, existence d’identiques spéciales, etc.). Comme tout algèbre, ce calcul permet d’automatiser les opérations d’addition et de soustraction et de simplifier les formules exprimant ces opérations et leur résultat.

Mais ne nous arrêtons pas sur l’exposé des règles de ce calcul et examinons au contraire brièvement le second groupement analysé par Piaget, le «groupement de l’addition secondaire des classes» (JP42, p. 58) ou «groupement des vicariances» (JP72a, p. 107).

Ce groupement a pour objet les transformations des classes secondaires. Il est important en ce qu’il fournit «le principe du groupement de toutes les relations symétriques et transitives» (JP42, p. 59. A la différence du premier groupement, le second groupement porte sur les différentes façons de parvenir à une classe emboîtante (A1, A2, etc., pour aboutir à B1, B2, etc.), et il décompose les classes complémentaires de chaque classe A1, A2, etc., soit A1', A2', etc.

Pour illustrer son analyse, Piaget prend l’exemple de la classe des humains, qui peut être considérée comme la réunion des français et des non-français, ou la réunion des chinois et des non-chinois: B = A1 + A1' et B = A2 +A2'. Constatant que les français sont inclus dans la classe des non-chinois et les chinois dans la classe des non-français, A1 est inclus dans A2' et A2 est inclus dans A1', Piaget appelle «substitution complémentaire» ou «vicariance» le procédé qui consiste à substituer A2 à A1 et A1' à A2' dans les expressions précédentes.

Les opérations de substitution complémentaire ou de vicariance obéissent aux lois de la structure de groupement (JP72a, p. 110).

L’opération directe – soit l’addition de deux vicariances – s’écrit comme suit: [(A1+A1'=A2+A2') + (B1+B1'=B2+B2')] = [A1+A1'+B1'=B2+B2']. L’opération inverse est la soustraction d’une vicariance: (B1+B1'=B2+B2') - (B1+B1'=B2+B2') = 0. L’opération identique générale est : 0+0 = 0+0, et les opérations identiques spéciales sont les réunions des vicariances avec elles-mêmes.

Ce groupement offre en outre des particularités intéressantes. Par exemple l’addition des non-français et des non-chinois, c’est-à-dire de A1' et de A2', a pour résultat la classe résultant de l’addition d’une classe primaire et de sa complémentaire: A1'+A2' = A1+A1' = A2+A2' = B.

Toujours en vue de donner une première idée des travaux logiques de Piaget, et pour montrer comment l’esprit systématique dont il fait preuve dans tous les domaines de recherche qu’il a abordés se retrouve dans ces travaux (voir JP52 pour une parfaite illustration de cette forme d’esprit), signalons que le sixième des huit groupements décrits par l’auteur, qui porte sur l’addition secondaire des relations symétriques, offre les mêmes particularités et les mêmes règles de calcul que ce deuxième groupement qui, lui, porte sur l’addition secondaire des classes. La raison en est simple.

Les relations symétriques dont il est question dans le sixième groupement portent sur des termes formés de plusieurs individus qui sont équivalents du point de vue de chacune d’entre elles. La formule générale en est la suivante: «x appartient à la même classe B que y mais pas à la même sous-classe A» (JP42, p. 128).

Enfin mentionnons simplement le nom des deux derniers groupements de classes considérés par Piaget. Il s’agit des groupements de multiplication bi-univoque et co-univoque des classes. Tous les deux reposent sur l’opération d’intersection de classes et son inverse, l’abstraction (si de la classe des ronds rouges on fait abstraction de la couleur de ses éléments, le résultat est la classe des ronds tout entière).

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[…] c’est dans la forme même, c’est-à-dire à l’intérieur du sujet, donc dans la filiation entre les coordinations formelles axiomatisées et les coordinations dont elles procèdent génétiquement, qu’est le lien entre l’abstrait et le concret, car l’ «abstrait» résulte, en ce cas, d’une abstraction par rapport aux coordinations de l’action et non pas d’une abstraction par rapport à l’objet.