Fondation Jean Piaget

Le groupement des opérations logiques élémentaires

[p.38] Le groupement est la première structure de nature implicative à apparaître au cours du développement. A [p.39] ce titre les divers groupements forment les entités élémentaires du vaste jeu de construction des formes et catégories fondamentales de la pensée que constitue l'épistémologie génétique. On les retrouve en effet en tant que structure d'équilibre sous jacente aux échanges sociaux rationnels (éthiques, juridiques et logiques) tandis que sur le terrain logico-mathématique le nombre, la mesure, l'espace et le temps, la logique des propositions et la combinatoire résultent de synthèses sui generis de groupements différents. Ces structures à leur tour sont à l'origine des diverses notions physiques et de celle de causalité elle-même.

Les ressemblances et les différences ainsi que la relation d'ordre, sur lesquelles repose la logique élémentaire des classes et des relations sont préfigurées par des équivalents pratiques dès les conduites les plus élémentaires. Appliquer la même action (pousser, secouer, etc.) à des objets divers, c'est déjà les réunir par la propriété commune d'être tous également «poussables», «secouables», etc., ce qui les rend tous qualitativement équivalents et en compose précisément, une classe d'équivalence. «Un concept de classe n'est psychologiquement que l'expression de l'identité de réaction du sujet vis-à-vis des objets qu'il réunit en une classe: logiquement, cette assimilation active se traduit par l'équivalence qualitative de tous les éléments de la classe»[1]. Quant à la relation d'ordre, elle intervient déjà dans la coordination des actions en conduites efficaces pratiquement, qui exige la subordination spatio-temporelle des moyens aux buts, ainsi que dans le réglage des diverses intensités de l'action: «De même un rapport asymétrique (plus ou moins lourd, ou grand) exprime les diverses intensités de l'action; c'est à dire les différences par opposition aux équivalences, et se traduit logiquement [p.40] par les structures sériales»[2]. L'origine de la logique est donc à chercher bien avant le raisonnement verbal ou formalisé, dans les compositions de ces actions (les plus générales possibles puisqu'elles s'appliquent à des objets quelconques et à la limite aussi bien aux atomes qu'aux galaxies) que sont réunir ou ordonner (physiquement ou mentalement) les objets selon leurs ressemblances ou leurs différences. Or ces lois de composition (les «coordinations générales de l'action») constituent les conditions nécessaires de tout fonctionnement, qu'il s'agisse des opérations de la pensée, des actions pratiques de l'intelligence sensori-motrice et des programmes instinctifs ou même de la coordination des réactions physiologiques, elles sont ainsi en quelque sorte communes au causal et à l'implicatif. C'est d'ailleurs dans cette indifférenciation initiale entre l'organisme et le milieu (dont témoigne l'origine chimique de la vie) que Piaget voit la source de l'adéquation des mathématiques à la réalité.

Il y a ainsi une prélogique (une semi-logique irréversible, dit encore Piaget) qui se manifeste dès les équilibres partiels auxquels parviennent les rythmes instinctifs, et les régulations sensori-motrices et représentatives pour aboutir à cette première forme d'équilibre implicatif que Piaget a formalisée sous le nom de groupement. Le mécanisme peut en être illustré sur un exemple construit à cet effet. Dans une collection S d'objets possédant des propriétés que nous supposerons dichotomiques pour simplifier (rouges ou bleus, en bois ou métalliques, triangulaires ou carrés, etc.) il s'agit d'identifier par des questions auxquelles on répondra par oui ou non, une classe particulière d'objets. Lorsque le sujet est capable d'utiliser une procédure de tri systématique, l'emboîtement additif de classes qu'il engendre ainsi possède une structure de groupement.

[p.41] S'il obtient par exemple une réponse affirmative directe ou indirecte aux questions: rouge (R)? métal (M)? carré (C)?, il aura divisé la collection S en deux sous-collections R et R', dont la réunion R+R' redonne S, puis la collection R en M+M', puis enfin M en C+C' pour découvrir que la collection restante C est formée de carrés métalliques rouges tous qualitativement identiques si l'inventaire des propriétés de S s'arrête là. Les diverses actions de réunir (+) ou de dissocier (–) ces collections ou classes obéissent alors aux lois du groupement:

1) L'opération directe (+ A') est une addition de la forme A+A'=B qui n'est définie qu'entre classes voisines (R, R'; M, M'; C, C' dans notre exemple);

2) L'opération inverse (–A') est celle qui annule l'opération directe: B–A'=A;

3) Le produit de l'opération directe avec son inverse est «l'opération identique» générale 0: A–A=0 qui a pour propriété A+0=0+A=A;

4) Il y a idempotence A+A=A entre classes de même rang, et résorption A+B=B entre classes de rangs différents;

5) L'associativité est vraie entre termes de mêmes signes, elle l'est entre termes de signes mélangés s'ils ne contiennent ni idempotences ni résorption: (A+A')+B =A+(A'+B)

mais: (–A–A)+B ?–A+(–A+B)[3].

Ces règles décrivent de manière informelle les conditions d'équilibre de la pensée de ce niveau opératoire «La structure de groupement, précise Grize[4] … s'est [p.42] avérée difficile à formaliser complètement. Les quelques tentatives faites jusqu'à ce jour… trahissent toutes d'une façon ou d'une autre la pensée de Piaget» (les tentatives émanent de Grize lui même, 1960 et 1967, Granger 1960, Witz 1969). Précisons à ce sujet pour la compréhension de ses textes que Piaget appelle opérations ce que l'usage actuel appelle opérateur. Une opération binaire comme l'addition des classes ci dessus, ou celle des nombres, transforme un couple d'éléments d'un ensemble en un élément de l'ensemble: on peut ainsi écrire 2+2=4 sous la forme S (2, 2)=4 et S est une application du produit cartésien de l'ensemble N des entiers sur lui-même (S: NxN?N). Un opérateur j transforme en revanche un élément (et non un couple) de l'ensemble en un autre: en notant j2 l'action d'ajouter deux éléments, 2+2=4 devient j2(2)=4. A chaque entier on peut associer un tel opérateur jn la composition jm.jn de ces opérateurs devient alors l'opération de cette nouvelle structure. Ce n'est pas là la difficulté à laquelle se heurte la formalisation, elle tient plutôt au fait que la pensée naturelle qui ne partage pas les préjugés idéologiques des mathématiciens persiste à se guider sur le contenu au lieu de s'en remettre pour la déduction aux purs critères formels, elle est donc dans une très large mesure réfractaire aux formalismes actuels.

Néanmoins ces conditions d'équilibre constituent «… sous l'angle psychologique, les facteurs d'ordre causal expliquant le mécanisme de l'intelligence, en même temps que leur schématisation logistique fournit les règles de la logique des totalités». Du point de vue psychologique: la composition des opérations correspond en effet à la possibilité de coordonner les actions, l'opération inverse qui permet le retour exact à l'état initial exprime la réversibilité de la pensée, l'opération identique qui laisse invariant son objet assure l'identité des objets de la pensée, enfin l'associativité est liée à la [p.43] possibilité pour la pensée de procéder par «détours» et d'arriver au même résultat par des chemins différents. Le groupement de la classification que nous venons de décrire est sous jacent à la classification zoologique et à la syllogistique classique. Celui de l'addition des relations asymétriques engendre la sériation qualitative (Aopérations de substitution et de réciprocité, les tables à double entrée (sur lesquelles repose «l'éduction des corrélats» de Spearman ou encore le raisonnement dit analogique) et la correspondance bi-univoque qualifiée, enfin les arbres (de type généalogiques) sous leurs deux aspects de compréhension et d'extension.

Ces groupements se retrouvent dans les opérations dites infralogiques qui portent sur la décomposition et la recomposition de l'objet, et leurs diverses synthèses ou réorganisations par abstraction réfléchissante engendrent le nombre, la mesure, les structures combinatoires et la logique des propositions (texte 19). L'exposé même superficiel de ces résultats déborderait largement le cadre et l'objet de ce petit ouvrage qui se limite à décrire l'organisation interne de la problématique de Piaget et les grandes lignes des solutions qu'il apporte, sans prétendre en retracer systématiquement les justifications expérimentales ou formelles. Pour cela, on se référera utilement à l'excellent Lire Piaget [5] qui offre un choix éclairé d'itinéraires au lecteur qui désire s'orienter dans l'univers piagétien.

[1][p.38, note 1] La psychologie de l'intelligence, p. 45.

[2][p.40, note 1] La psychologie de l'intelligence, p. 45.

[3][p.41, note 1] La psychologie de l'intelligence, p. 53.

[4][p.41, note 2] J. B. Grize, dans Piaget, Essai de logique opératoire, éd. 1971, p. 92.

[5][p.43, note 1] Lire Piaget, Droz et Rahmy.



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[…] les schèmes sensori-moteurs supérieurs tirent des schèmes initiaux (réflexes et perceptifs) leurs possibilités d’anticipation et de reconstitution partielles, pour les prolonger et les regrouper en conduites de détours et de retours