Jean Piaget – L'œuvre
Fondation Jean Piaget

Genèse du nombre

Un objet d’étude privilégié pour le constructivisme
Exemple de problème: les oeufs et les coquetiers


Un objet d’étude privilégié pour le constructivisme

L’étude sur la genèse du nombre chez l’enfant est un bon exemple de l’originalité des questions et du regard que Piaget a apportés à la psychologie.

N’importe quel parent sait bien que son enfant peut commencer à apprendre à compter avant l’âge de six ans. Les psychologues ont d’ailleurs dès le début du siècle réalisé des tests révélant l’âge moyen auquel un enfant sait compter jusquà quatre, ou jusqu’à sept, etc. Mais aucun psychologue n’a, avant Piaget, cherché à répondre à la question: savoir compter, est-ce connaître les nombres? question qui renvoie au problème plus fondamental de la nature du nombre.

En approchant l’enfant avec ce genre d’interrogations à l’esprit, Piaget change complètement de point de vue par rapport à l’étude de l’intelligence enfantine, et découvre la voie royale permettant d’observer et de comprendre la nature de celle-ci. Or aborder l’enfant de cette façon, c’est se livrer à une recherche non seulement de psychologie génétique, mais aussi d’épistémologie. C’est ce qui apparaît avec évidence dans les travaux sur la genèse du nombre.

L’une des raisons pour lesquelles les travaux de Piaget sur la psychogenèse des notions, et en particulier de celle du nombre, peuvent être mal compris est que leur lecture exige une formation épistémologique minimale qui est encore loin d’être entrée dans les moeurs de la psychologie cognitive contemporaine. Il faut pourtant savoir que l’accès à l’étude de l’intelligence passe par l’interrogation, la réflexion et l’analyse épistémologiques, à côté de l’enquête psychogénétique.

De toutes les études sur le développement des notions, celle qui porte sur le nombre exprime peut-être de la façon la plus visible la conception constructiviste que Piaget propose de l’évolution intellectuelle de la pensée.

Indépendamment même de cette étude, les différentes familles de nombres (naturels, entiers, rationnels, irrationnels, réels, etc.) présentent une forme d’emboîtement hiérarchique qui est celle-là même dont Piaget affirme trouver l’existence dans le développement de la raison humaine telle qu’elle se révèle à cette enquête.

La construction des nombres entiers

La part la plus importante des travaux consacrés au nombre porte sur les nombres entiers positifs, c’est-à-dire la suite des nombres de un à l’infini, ainsi que sur les nombres rationnels.

Comme le montrent les enquêtes psychogénétiques, cette suite n’est d’ailleurs construite que très progressivement par l’enfant, qui ne maîtrise d’abord que les premiers nombres, puis des regroupements de nombres entiers de plus en plus grands, incluant ceux déjà acquis.

Cette construction progressive de la suite illustre elle aussi la thèse constructiviste selon laquelle la connaissance se construit par paliers successifs, par assimilation du nouveau au connu et, inversement, par incorporation des anciennes constructions dans les nouvelles.

Elle montre en plus que les nombres que construit et apprend à connaître l’enfant partagent avec la logique de ce même enfant un caractère éminemment concret. Une certaine abstraction est certes possible par le biais de l’enseignement scolaire et de l’apprentissage des algorithmes de l’addition et de la soustraction, puis de la multiplication et de la division; mais cet apprentissage lui-même est soumis à une progressivité qui reflète l’étagement pyramidal du savoir et l’intégration (parfois correctrice) du dépassé dans le dépassant.

Le nombre comme synthèse de la classe et de la relation

Ce que montre l’étude de la genèse du nombre chez l’enfant, c’est la façon dont sa construction est intimement liée à celle de la logique concrète des classes et des relations. Le nombre y apparaît comme la synthèse ou fusion des deux notions fondamentales de cette logique que sont la classe et la relation asymétrique, et les opérations numériques, comme la synthèse ou fusion de l’addition des classes et de celle des relations, ainsi que de la multiplication des classes et de celle des relations (classe logique, addition des relations et multiplication des relations).

Que le nombre soit synthèse des opérations de classification et de sériation ne signifie pas pour autant qu’il apparaisse après leur construction.

Le processus de synthèse se fait tout au long des stades qui vont d’une prénotion de nombre encore non complètement dissociée des notions d’espace, vers une notion intuitive, pour aboutir au nombre opératoire. Bien plus, les progrès dans la construction du nombre, qui résultent de la fusion progressive des prénotions de classe et de relation asymétrique, réagissent en retour sur les progrès de la construction de ces deux dernières.

Loin d’avoir affaire à une action unidirectionnelle de la logique vers le numérique, la construction de la classe, de la relation et du nombre se fait par un constant appui du prélogique sur le prénumérique, et de celui-ci sur celui-là, comme le montrent par exemple les enfants qui font intervenir le nombre des éléments d’une collection lorsqu’on leur pose des questions sur la quantification des classes (c’est-à-dire s’il y a plus d’éléments dans une classe que dans une autre).

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Exemple de problème: les oeufs et les coquetiers

Les expériences sur la genèse du nombre ont pour objet les conduites et les conceptions de l’enfant par rapport à trois caractéristiques importantes du nombre.

La première, qui concerne la conservation d’une quantité numérique et son indépendance par rapport aux propriétés spatiales, semble avoir longtemps échappé à la théorisation mathématique tant elle apparaît évidente à tout adulte, et donc au mathématicien.

Quant à la deuxième et à la troisième caractéristiques, elles concernent les rapports entre le nombre ordinal et le nombre cardinal, ainsi que l’existence d’opérations additives et multiplicatives.

Comme pour l’étude de la genèse des classifications et des sériations, celle du nombre repose sur plusieurs expériences auxquelles le psychologue "soumet" les enfants (en réalité ceux-ci sont très généralement ravis de discuter avec l’adulte des problèmes que celui-ci leur pose). Et, comme pour les classifications et les sériations, il existe une expérience clé qui permet de révéler l’essentiel des acquis de l’enfant à chacun des trois stades par lesquels il va passer pour construire la notion de nombre naturel: l’expérience dite de la correspondance terme à terme, ou de la conservation du nombre, ou plus concrètement des "oeufs et des coquetiers".

Soit un certain nombre d’éléments quelconques, par exemple neuf ou dix coquetiers que le psychologue va soigneusement placer en ligne droite, à égale distance les uns des autres (fig. 5; une autre expérience du même type, dont Brunschvicg avait fait une analyse remarquable, qui anticipait celles plus approfondies et empiriquement fondées de son élève Piaget, est celle de "l’échange de sous et de fleurs" entre l’enfant et l’adulte qui jouent au jeu de l’acheteur et du vendeur).

Le psychologue demande alors à l’enfant de poser sur la table le même nombre d’oeufs que de coquetiers. A partir de là va s’ensuivre une série de discussions entre l’enfant et l’adulte, et de nouvelles actions de l’un ou de l’autre, qui permettront de dégager la notion que l’enfant se fait du nombre à chaque niveau de son développement, ainsi que les procédés ou les opérations qu’il utilise pour répondre aux problèmes ou aux questions que lui pose le psychologue, et qui permettront aussi à Piaget d’apporter une solution au problème épistémologique de la nature du nombre.

D’autres expériences sont encore utilisées qui ont pour objet l’étude des rapports entre la cardination et l’ordination, ou l’étude des opérations additives ou multiplicatives. Nous les décrirons le moment venu.

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[…] ce qui est premier dans l’ordre de la construction apparaît en dernier à l’analyse réflexive, parce que le sujet prend conscience des résultats de la construction mentale avant d’en atteindre les mécanismes intimes.