Cet article rédigé en 1973-1974 est tout à fait remarquable. D'abord il confirme que son auteur n'a jamais arrêté de s'intéresser à l'avancement des mathématiques les plus théoriques et abstraites, ceci avec l'aide des mathématiciens (dont G. Henriques et S. Papert) et physiciens (dont E. Ascher et R. Garcia) collaborateurs du CIEG ou travaillant au sein des universités romandes (notamment, pour ce qui est des catégories, le mathématicien suisse G. de Rham) ou françaises. Ensuite il révèle une nouvelle fois le caractère "circulaire" (conforme à la thèse du cercle des sciences) de son rapport à la science mathématique. D'un côté, la progression des mathématiques lui offre des notions et des instruments d'assimilation (dont en tout premier lieu les structures et les catégories thématisées par le mathématicien) qui lui permettent de mieux cerner et distinguer les activités et organisations intellectuelles à l'œuvre chez le sujet (particulièrement l'enfant et l'adolescent) au cours de son développement cognitif et de sa construction du réel. De l'autre, sa profonde connaissance de l'histoire naturelle et de ses démarches, et sa connaissance tout aussi riche, nourrie de centaines d'enquêtes, de l'intelligence de l'enfant et de l'adolescent, ainsi que sa visée épistémologique, lui font concevoir les objets mathématiques les plus généraux découverts à ce jour (les structures et les catégories) comme s'inscrivant en filiation avec des activités et organisations à l'œuvre chez le sujet. Enfin, Piaget ne pouvait pas ne pas être séduit par la proximité entre les démarches des mathématiciens travaillant sur le terrain de la théorie des catégories et sa propre visée. L'un des mobiles les plus profonds de ce travail semble être en effet de révéler et de "mathématiser", au moyen de l'approche catégorielle et des instruments qu'elle produit (les catégories) l'activité des mathématiciens mettant en relation des structures mathématiques et en créant de nouvelles (du moins si l'on en croit par exemple l'examen qu'en font Henriques et Ascher dans les deux chapitres qu'ils ont publiés dans JP90).

Un mot encore au sujet de l'intérêt manifesté ici par Piaget pour la question des rapports entre structures et catégories. Dans son usage "standard" en psychologie et en épistémologie génétiques, la notion de structure est fortement liée à celles de filiation et de genèse (comme le résume le titre d'un chapitre de 1959 "Genèse et structure en psychologie", JP59a). Mais comme biologiste profondément marqué par le travail de mise en relation et de classification réalisé en histoire naturelle, il n'a pas manqué, bien avant de prendre connaissance des travaux sur la théorie des catégories née au milieu des années 1940, d'être interpellé par les deux dimensions que prend l'évolution des formes biologiques: la dimension de filiation verticale entre espèces, mais aussi celle, "horizontale", des similitudes pouvant apparaître entre des espèces ou entre groupes biologiques n'ayant pas de rapport de filiation entre eux et que résume la notion biologique d'homologie structurale. Dans le premier cas, la parenté n'est pas seulement formelle, mais est la conséquence de transformations génératrices des nouvelles formes. Dans le second cas, la parenté peut être seulement formelle (si l'homologie ne résulte pas d'une ascendance commune). Cette sensibilité à ces deux types de similitudes entre espèces ou formes biologiques apparaît en pleine lumière dans la modélisation entreprise dès la fin des années 1930 des groupements logiques (JP42) et dans laquelle il présente d'abord les groupements portant sur les simples additions et multiplications de classes et de relations, puis les groupements plus complexes mettant en rapport ou regroupant des classes ou des relations aussi bien non inscrites qu'inscrites dans des suites de filiation verticale (comme le sont les rapports de parenté, ou encore les similitudes entre espèces biologiques ne présentant pas de rapport de filiation). Or, ce que Piaget croit pouvoir concevoir chez les mathématiciens travaillant à l'élaboration d'une théorie des catégories, c'est précisément cette double sensibilité à la fois aux liens de filiation et aux liens d'homologie par lequel le biologiste approche l'évolution des espèces et le psychologue, le développement des schèmes et des structures cognitives. Cette double dimension était déjà présente chez les mathématiciens s'efforçant de dresser le catalogue des structures mathématiques, mais sans qu'elle fasse l'objet d'une théorisation ou mathématisation explicite. Certaines structures des mathématiciens permettaient à Piaget de modéliser les structures propres à certains regroupements d'actions et d'opérations observés chez les enfants et les adolescents qu'il étudiait. Mais il ne lui offrait pas les instruments permettant de mettre en rapport ces structures. Piaget, en examinant les recherches "post-structuralistes" sur les catégories mathématiques, pressent que ces recherches sont à même d'apporter au théoricien de l'évolution des formes biologiques et cognitives les instruments de modélisation des liens à la fois verticaux (de filiation) et horizontaux qui relient ces formes les unes aux autres. Lui-même n'aura pas l'opportunité de réaliser une telle modélisation (encore que les diagrammes qu'il présente dans JP75, comme son rappel – également dans les années 1970 – de ses anciens travaux de modélisation des groupements, n'allaient peut-être pas sans esquisser, dans son esprit, un tel travail); mais ses recherches sur les correspondances, les morphismes et les catégories conduites au milieu des années 1970 avec l'aide de ses assistants et des mathématiciens et physiciens travaillant au CIEG ouvraient une voie qui mériterait d'être explorée plus avant pour le plus grand bénéfice non seulement de l'épistémologie génétique, mais aussi de la psychologie génétique.

Rédigé par Piaget, ce long article de 36 pages rapporte les résultats d'un ensemble de recherches originales, réalisée par Bärbel Inhelder et deux de ses assistants, Alex Blanchet et Anne Sinclair) sur l'acquisition de la conservation des quantités discrètes (ou arithmétiques) d'un côté, continues de l'autre, ainsi que des relations qui peuvent exister entre le logico-arithmétique et l'infralogique au cours de cette double acquisition. Ces recherches, qui prolongent des travaux réalisés par Inhelder, Hermine Sinclair et Magali Bovet sur les effets d'activités préopératoires ou quasi-opératoires sur le développement des structures cognitives (BI74), confirment la relative indifférenciation initiale puis la différenciation graduelle, par étape, des notions et des opérations en jeu; ils mettent également en lumière les appuis ou au contraire les obstacles mutuels entre le logico-arithmétique (ou le discret) et le continu, au cours de leur construction et différenciation.

Les expériences et situations-problèmes astucieuses présentées ici ont également pour intérêt de mieux cerner l'une des caractéristiques des transformations d'une collection discrète ou d'une tout continu dont la prise en considération permet aux enfants d'accéder à une forme précoce de conservations des quantités, à savoir la commutabilité: lors d'un changement de disposition ou de forme d'une collection ou d'une totalité, ce qui est ajouté ou additionné au point d'arrivée de l'action de transformation est supprimé ou soustrait au point de départ de celle-ci. Parvenu à un certain niveau de développement, l'enfant qui prend en considération cette propriété de commutabilité des déplacements des parties d'une collection ou d'un tout se laisse moins abuser par les propriétés visibles du tout en son état final et peut conclure avec une certitude de plus en plus ferme à la conservation de la collection ou du tout transformé, pour autant que ce qui est enlevé au premier moment de la transformation soit ré-injecté au second moment (dans l'expérience classique de conservation de la substance, il n'y a pas extraction puis réinsertion des parties, mais simples déplacements de celles-ci, ce qui rend plus difficile la prise en compte de la commutabilité de ces déplacements de parties).

Une différence de contenu explique toutefois un léger décalage constaté entre l'acquisition de ces deux formes précoces de conservation (facilitée par la mise en évidence des actions de soustraction et d'addition) et de l'accélération qui peut en résulter quant à l'acquisition des structures opératoires. Sur le plan du continu ou de l'infralogique, la commutabilité doit être prise en considération sur deux niveaux et non pas sur un seul pour que la conservation de la quantité soit acquise; en effet, dans le cas du continu, les parties déplacées du tout considéré (par exemple, les parties différemment colorées qui, dans l'une des expériences exposées, composent une boule de plasticine) changent elles-mêmes de forme lors de la transformation de la boule en saucisse). Dans le cas de la conservation des quantités discrètes, la prise en considération de la commutabilité est quelque peu simplifiée dans le mesure où les éléments déplacés sont des unités invariables).

Enfin, relevons l'attention que les auteurs de cette recherche portent au rôle facilitateur ou au contraire perturbateur que peuvent avoir les formes d'"enveloppement topologique" des collections discrètes sur les jugements des enfants préopératoires, mais aussi, dans l'autre sens le rôle également soit facilitateur soit perturbateur de la prise en considération du nombre de parties reconnaissables d'une totalité physique ou spatiale dans le jugement portant sur la quantité de matière, de longueur, etc., composant ce tout. Dans les conclusions qu'il tire de cette recherche, Piaget esquisse un examen du développement des "enveloppements" infralogiques et logiques en utilisant à cet effet les notions de surjection (des parties dans le tout) et de multijection (du tout vers les parties) empruntées à l'étude des morphismes qu'il est par ailleurs en train de réaliser avec ses collaborateurs du CIEG (JP90). Il y souligne un décalage développemental initial entre les "enveloppements infralogiques" ou "continus" et les "enveloppements logiques" (une collection d'élément reconnue en tant que formant un tout au début bordé par ses frontières spatiales) pour des raisons liées à la plus grande difficulté de la multijection (retrouver les parties à partir du tout) dans le domaine du continu.

Dans ce bref texte d'un exposé donné à Bruxelles en 1975, Piaget présente trois classes de modèles: les modèles transformationnels (dont il a fait largement usage dans ses propres recherches de psychologie génétique), les modèles catégoriels (en lien avec les théories mathématique des morphismes et des catégories, dans lesquelles l'activité de comparaison joue un rôle essentiel), enfin les modèles cybernétiques, qui intègrent transformations et comparaisons. En ce qui concerne le rôle que les modèles morphismiques et catégoriels seront appelés à jouer dans la propre conception de Piaget, en plus d'être d'une certaine façon anticipé dans son analyse des groupements logiques (en particulier le groupement co-univoque des relations), il sera explicitement abordé lors des recherches du CIEG sur "Morphismes et catégories" (JP90, voir en particulier le chapitre 7).