[Texte de présentation. Version au 18 octobre 2010.]

Après avoir traité de la logique des classes et des relations, et avant de présenter le troisième grand domaine de la logique classique, à savoir la logique des propositions, Piaget examine, toujours dans une perspective structuraliste, l’un des domaines les plus fondamentaux des mathématiques, à savoir la théorie des ensembles (mathématiques), dont la découverte (par Dedekind et Cantor) dans la seconde moitié du 19ème siècle avait conduit Frege et Russell à soutenir la thèse de la réduction de la mathématique tout entière à la logique élémentaire en raison de la proximité des notions de classe logique et d’ensemble mathématique. S’il est vrai que la notion (et la relation) de partie à tout occupe une place centrale en logique des classes comme en « logique des ensembles », il n’en reste pas moins que les opérations reliant partie à tout en logique de classes et en théorie des ensembles ne peuvent être (complètement) identifiées les unes aux autres (par exemple, l’addition propre à l’ensemble des nombres entiers échappe aux lois de tautification de l’addition logique: 1+1 = 2, alors qu’en logique des classes la classe des chevaux + la classe des chevaux = la classe des chevaux). Il en va de même pour les opérations de correspondance (bijection, etc.) entre ensembles et la structure qui les sous-tend, comparativement aux opérations de correspondance toujours qualifiées (et donc non pas quelconques) qui sont propres à la logique des classes. L’une des raisons principales qui opposent les opérations logiques aux opérations mathématiques est que, alors que dans les secondes, les opérations peuvent directement porter entre des éléments ou parties quelconques d’un ensemble, en logique, toute composition significative d’éléments (que ce soit des individus ou des sous-classes), doit tenir compte de l’ordre d’emboîtements des parties dans les totalités (additionner la classe des pommes à la classe des chats pour obtenir une nouvelle classe d’êtres vivants n’a pas de signification biologique).

En bref, la modélisation logistique à laquelle Piaget a procédé de la logique des classes et des relations logiques élémentaires lui permet de décrire avec précision ce par quoi les structures opératoires ainsi mises en lumière se distinguent des structures ensemblistes beaucoup plus générales et puissantes dégagées par les mathématiciens. Cette analyse comparative a une portée épistémologique évidente puisque qu’elle permet à son auteur de s’opposer aux thèses réductionnistes de Frege et Russell concernant les rapports entre logique et mathématiques, et plus particulièrement entre les notions de classe (et d’extension de classe) et de nombre cardinal (ou de puissance d’un ensemble), ainsi d’ailleurs qu’entre les notions de relation asymétrique et de de nombre ordinal, tout en montrant les rapports de filiation (par fusion des opérations de classe et de sériation logiques) qu’il peut y avoir entre le domaine logique et le domaine mathématique. Mais elle a également une portée psychologique tout aussi évidente, puisqu’elle met en lumière ce qui, au-delà de leurs similitudes, distingue les opérations effectives ou virtuelles que les sujets mettent en oeuvre lorsqu’ils classent ou ordonnent des réalités qualifiées et non pas quelconques d’un côté (ex.: il y a plus d’animaux que de chevaux), et, de l’autre côté, lorsqu’ils opèrent sur des éléments ou parties quelconques d’un ensemble (en particulier numériques) ou sur des relations extensives (et non pas seulement intensives = être plus grands ou plus petits sans qu’il soit précisé de combien plus grands ou plus petits) entre éléments ou parties d’un ensemble (5 est de deux unités plus grands que 3) ou entre ensembles.