Fondation Jean Piaget - Logique - Les groupements de relation
Fondation Jean Piaget

Les groupements de relation

Introduction
L’addition des relations asymétriques
L’addition des relations symétriques
La multiplication des relations


Introduction

Avant de considérer les groupements d’opérations agissant sur les relations, Piaget commence par déterminer avec soin ce qu’il convient d’entendre par "relation", ce qui va le conduire à adopter une position originale selon laquelle les relations concernent la compréhension des concepts ou des prédicats, alors que les classes concernent leur extension.

Cette position paraît être une synthèse de la logique classique et la logique moderne. La logique classique ignorait les relations pour ne considérer que des attributs ou des prédicats attributifs (par exemple "rouge") et leur extension (la classe des objets rouges); ou plutôt elle les réduisait à des attributs (par exemple l’attribut "plus haut que le Cervin", qui en fait repose sur la relation "plus haut que").

Le grand saut de la logique moderne par rapport à l’ancienne logique est précisément d’avoir considéré la relation comme l’un de ses trois objets de base, à côté de la classe et de la proposition. La logique symbolique, réunifiera ces trois objets au moyen de la fonction propositionnelle. La fonction "rouge(x)" désigne à la fois le prédicat en compréhension "rouge" et la classe des individus qui la satisfont, les "x". La fonction "plus grand(x,y)" désigne la relation "plus grand" et les couples d’individus qui la satisfont.

Mais alors sur quoi porte la logique des relations? Sur les couples, ou les trios, etc., d’individus, ou bien sur la relation en compréhension qui correspond aux classes de couples, de trios, etc.? Pour Piaget, les relations ne sont pas les classes de couples, de trios, etc., mais bien les prédicats "plus grand que", "être entre", etc., qui leur correspondent. L’auteur va d’ailleurs plus loin en incluant dans la logique des relations les prédicats unaires ("rouge", "pesant", "homme", etc.) de la logique classique, ce qui le conduira à distinguer deux grands sous-domaines de la logique des relations: celui portant sur les relations symétriques, ou relations de classe, et celui portant sur les relations asymétriques.

Une logique basée sur la compréhension des relations

En affirmant que la logique des relations est une logique de la compréhension des prédicats, unaires (par exemple "rouge"), ou non (par exemple "plus grand que") Piaget s’oppose explicitement à certains logiciens qui se font une conception purement extensionnaliste des objets de cette science.
    Soit, par exemple, la relation "plus grand ou égal" portant sur les nombres {0, 1, 2, 3}. Une représentation de type matricielle ou un tableau multiplicatif rendent immédiatement visible les couples satisfaisant cette relation et ceux qui ne la satisfont pas.
Bien que Piaget accepte tout à fait une telle représentation extensionnaliste de la relation, il remarque que celle-ci ne fournit que «le résultat de cette représentation et non pas la relation comme telle» (JP72a, p. 123; ceci, notons-le en passant, est pédagogiquement important).

Pour lui, il est beaucoup plus profond et intéressant de considérer les relations en jeu, par exemple «en attribuant à la relation d’équivalence la signification d’une différence nulle et aux relations asymétriques transitives constituant l’ordre la signification d’une différence croissante» (id.).

En adoptant le point de vue extensionnaliste du mathématicien, le logicien «intervertit l’ordre naturel de la construction et contraint l’esprit à reconstituer, par une inférence proprement dite, la relation en compréhension à partir de la disposition en extension, au lieu de reconnaître en cette disposition un résultat de la mise en relation et de chercher à atteindre celle-ci sur le plan de la compréhension» (JP72a, pp. 123-124).

L’originalité de Piaget

Mais il y a plus, remarque l’auteur. Le point de vue extensionnaliste ignore l’existence d’opérations portant sur les relations, et non pas sur leur extension. Ces opérations, et c’est là que Piaget fait oeuvre tout à fait originale, sont celles portant sur les différences non nulles propres à une relation asymétrique, ou nulles propres à une relation symétrique. Ces opérations sont le pendant de celles que l’on constate sur le terrain des classes. On peut additionner ou multiplier des différences comme on additionne ou on multiplie des classes.

Les relations logiques sont des relations intensives

Pour délimiter l’objet et le champ de la logique des relations, il reste un dernier point à considérer. Que la logique soit la science des différentes opérations pouvant intervenir sur des différences nulles ou non ne suffit pas à la distinguer de la science mathématique elle-même, dans la mesure où celle-ci contient elle aussi des opérations de cette nature (on peut ainsi considérer la différence existant entre les nombres 5 et 7 comme l’addition des différences entre 5 et 6 et entre 6 et 7).

Pour distinguer les deux domaines d’étude, il convient de préciser alors que la logique des relations a pour objet spécifique les "relations intensives". La différence, objet de base de la logique des relations, peut être en effet quantifiée soit en intension (on sait seulement qu’une différence est plus grande ou plus petite qu’une autre, ou qu’elle lui est égale), soit en extension (on sait précisément, c’est-à-dire numériquement ou métriquement, de combien une différence est plus grande ou plus petite qu’une autre). Seule la première intéresse la logique entendue en son sens le plus étroit.

Avant de présenter de façon très sommaire les différents groupements des opérations de relation logique, notons une conséquence intéressante de la conception de Piaget sur laquelle celui-ci s’est prudemment tu. Si la logique des relations, comme d’ailleurs la logique des classes et des propositions sont des disciplines qui ont pour objet les opérations de la pensée, il en va au moins partiellement de même de la mathématique!

Que la théorie des groupes arithmétiques soit aussi une théorie psychologique, un modèle abstrait d’un aspect au moins du fonctionnement de la pensée, voilà qui peut paraître curieux, mais qui l’est moins si l’on considère ce fait à travers la conception épistémologique que des savants tels que Poincaré se faisaient des fondements psychologiques de la mathématique (et cela sans aucun psychologisme, la vérité logique et la vérité mathématique n’étant en rien suspendues à la vérité expérimentale du psychologue).

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L’addition des relations asymétriques

Le premier groupement des relations décrit par Piaget est celui de l’addition des relations asymétriques transitives, en d’autres termes, le groupement de la sériation intensive.
    Soit un certain nombre de termes O, A, B, C, D, etc., pouvant être sériés selon une relation asymétrique transitive telle que la grandeur, ou la lourdeur. (A->B) signifie que B dépasse A selon la relation considérée (B est par exemple plus grand, ou plus lourd, etc.
Contrairement à l’addition des classes qui portait sur les termes eux-mêmes, l’addition des relations porte sur les différences séparant les termes les uns des autres. Piaget symbolise par des minuscules ces différences: "a" désigne par exemple la différence entre O et A, "b" la différence entre O et B, et "a'" la différence entre A et B. Pour des raisons de commodité, nous désignerons ici par da, db et da’ ces différences.

Plus précisément la différence entre A et B sera notée da'(A->B), et la différence entre O et B comme db(O->B). La somme de deux différences voisines s’écrit ainsi: db(O->B) = da(O->A) + da'(A->B).

Tenir compte du sens dans lequel la relation asymétrique est considérée permet en outre de définir la soustraction d’une différence à elle-même, par exemple da'(A->B) - da'(A->B), comme revenant à inverser le sens du parcours et donc à relier A à A lui-même.

En ce cas, on a alors da'(A->B) - da'(A->B) = da'(A->B) + da'(B<-A), ce qui signifie que la soustraction d’une relation asymétrique positive équivaut à l’addition de la relation converse ("plus petit" à la place de "plus grand"), étant entendu qu’additionner une relation converse veut dire additionner la différence entre les deux termes ordonnés selon cette relation.

Dans l’exemple de la grandeur, (B<-A) signifie que A est plus petit que B. En clair cela signifie que si, partant de A, nous cherchons le terme qui est da' plus grand que lui, nous trouvons B, puis que si, partant de B, nous cherchons le terme qui est da' plus petit que lui, alors nous trouvons A.

Le groupement des additions de différences

Une fois clarifiée la nature des relations en jeu, ainsi que la nature des opérations de sériation, c’est-à-dire d’addition des différences, on s’aperçoit sans difficulté comment ces opérations obéissent aux lois de la structure de groupement.

L’opération directe est l’addition des différences, que de façon abrégée on peut écrire: da + da' = db, db + db' = dc, etc. On constate alors que l’addition des relations asymétriques offre la même restriction que l’addition des classes, comparativement à l’addition des nombres: l’addition des relations ne se fait qu’entre des termes connexes (on passe de O à A, puis de A à B, puis de B à C, etc.).

L’opération inverse est la soustraction d’une diffrence: db(O->B) - da'(A->B) = da(O->A). Composer l’inverse d’une addition avec cette addition revient à retrouver le terme initial de cette addition. Cette composition d’une addition et de sa soustraction équivaut à ajouter une différence nulle au terme de départ.

Comme chaque opération additive comporte une inverse, cela signifie que l’opération de sériation respecte la condition d’existence d’une opération identique générale, que l’on peut symboliser par do(A->A). Ajouter la différence nulle à un terme de la série revient à relier ce terme à lui-même.

En plus de l’opération identique générale, il intervient, comme dans le groupement additif des classes primaires, des identiques spéciales: da'(A->B) + da'(A->B) = da'(A->B). Ce qui veut dire qu’il revient au même de partir de A pour lui ajouter da', puis de repartir de A pour lui ajouter à nouveau da', que, simplement, partir de A pour lui ajouter da' (dans le domaine numérique au contraire, da' + da' = 2da' !). Comme pour l’addition des classes, ces identiques spéciales n’ont pas de sens en elles-mêmes, mais seulement en tant qu’elles font partie d’une structure opératoire!

Enfin l’associativité propre à la structure de groupement est elle aussi vérifiée: da(O->A) + [db'(B->C) + dc'(C->D)] = [da(O->A) + db'(B->C)] + dc'(C->D).

Groupement additif des classes et groupement additif des relations

Si la structure du groupement de l’addition des classes primaires et celle des relations asymétriques transitives sont généralement proches l’une de l’autre, il existe pourtant une différence importante: l’absence de commutativité de la seconde.

Pour les classes, il est indifférent d’ajouter A à A' ou A' à A pour obtenir B. Comme les relations en jeu dans le premier groupement des relations sont asymétriques, l’ordre dans lequel on procède est au contraire essentiel, ce que révèle l’absence de vicariance. Ainsi, alors que dans le cas des classes on peut aboutir à B en ajoutant A1 à A1' ou A2 à A2', il n’y a rien de tel dans le cas d’une sériation logique: «[...] on peut subdiviser une suite de relations asymétriques en autant de segments que l’on voudra, on obtiendra toujours des segments successifs constituant la même série totale» (JP72a, p. 138).

On comprend dès lors pourquoi le passage par le groupement additif des classes secondaires (ou groupement des vicariances) va jouer un rôle important pour construire un groupement équivalent sur le terrain de la logique des relations. Le deuxième groupement des relations va en effet porter non plus sur des relations asymétriques (et donc sur des différences non nulles), mais sur des relations symétriques, c’est-à-dire les relations qui définissent les classes!

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L’addition des relations symétriques

Le deuxième groupement additif des relations est celui de l’addition des relations symétriques. L’exemple utilisé par Piaget pour illustrer son analyse axiomatique est celui des relations de parenté: fils, père, grand-père, cousin, etc. (Piaget ne considère que la moitié masculine du genre humain dans l’exemple qu’il choisit; on peut sans façon lire "soeur" pour "frère", etc.; en tous les cas, toute personne qui voudrait devenir un virtuose dans l’examen des relations de parenté aura intérêt à lire les pages consacrées au groupement additif des relations symétriques; la notion de cousin issu de germain ne sera plus un mystère pour elle!).

On peut représenter les relations symétriques et les termes sur lesquelles elles portent de la façon suivante: da(x<->y) signifie, dans l’exemple des relations de parenté, être issu d’un même parent (donc être frère ou soeur), db(x<->y) signifie être issu dun même grand-parent, dc(x<->y) signifie être issu d’un même arrière-grand-parent, etc.

Sans entrer dans le dédale des relations de parenté, contentons-nous alors de reproduire les lois très simples du groupement d’addition des relations symétriques, relations qui portent sur des individus appartenant à la classe déterminée par une certaine relation symétrique.

L’opération directe est l’addition de relation symétrique: da(x<->y) + da(y<->z) = da(x<->z) (x est frre de y et y frère de z équivaut à x est frère de z). L’opération inverse revient à additionner la converse de l’opération directe: -da(x<->y) = da(y<->x). L’opération identique, soit l’identité do(x<->x) est aussi le résultat de la composition de toute addition et de sa converse: da(x<->y) + da(y<->x) = do(x<->x). Enfin on constate là aussi la présence d’identités spéciales: da(x<->y) + da(x<->y) = da(x<->y), ainsi que da(x<->y) + db(x<->y) = db(x<->y), ce qui, dans le cas des relations de parenté voudrait dire que l’addition de la relation "x est le fils d’un même père que y", et de la relation "x est le petit-fils d’un même grand-père que y" équivaut à considérer que x est le petit-fils d’un même grand-père que y.

Donnons un seul exemple de la façon dont les additions de relations symétriques interviennent dans les relations de parenté, prenons l’exemple db(x<->y) + da'(y<->z) = db(x<->z): si x et y sont petits-fils du même grand-père et que y est cousin germain paternel de z, alors x et z sont petits-fils du même grand-père (JP72a, p. 147). D’autres exemples peuvent être produits sur le terrain de la classification des espèces biologiques.

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La multiplication des relations

De même que les deux groupements additifs des classes sont complétés par deux groupements portant sur la multiplication bi-univoque ou sur la multiplication co-univoque des classes, de même les deux groupements additifs des relations le sont par deux groupements portant sur la multiplication bi-univoque ou sur la multiplication co-univoque des relations.

Citons simplement, pour terminer, comment Piaget conçoit la construction de ces groupements à partir des groupements additifs de relation:
    «[...] lorsqu’à une suite unidimensionnelle ou additive de relations on fait correspondre un ensemble de mêmes suites, mais en ordonnant ces correspondances selon une ou plusieurs autres sériations, on obtient une table multidimensionnelle, c’est-à-dire une multiplication» (JP42, p. 146).
La différence entre le groupement bi-univoque et le groupement co-univoque des relations résulte du fait que dans le premier cas on multiplie une série de relations asymétriques par une autre série de relations asymétriques (plus haut fois plus large, par exemple), alors que dans le second cas, on multiplie une suite de relations asymétriques par une suite de relations symétriques.

Pour illustrer les opérations de multiplications co-univoques de relation, Piaget utilise les relations de parenté en croisant les relations symétriques (être le fils d’un même père, etc.), et les relations asymétriques (être le fils de, être le père de, etc.). Cette multiplication des relations "horizontales" de parenté par les relations "verticales" permet de relier n’importe quel membre d’un arbre généalogique, abstraction faite des liens de parenté acquis par alliance.

C’est ce groupement qui permettra de parler, avec une plus ou moins grande virtuosité opératoire selon l’intérêt que l’on porte à ce tissu de relations, de A, qui est le petit-fils du cousin germain de B, etc., ou de relier par de multiples chemins les liens entre des membres plus ou moins éloignés de la famille (loi d’associativité de la multiplication co-univoque).

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[…] il existe donc deux sortes d’expériences: l’expérience physique conduisant à une abstraction de propriétés tirées de l’objet lui-même et l’expérience logico-mathématique avec abstraction à partir des actions ou opérations effectuées sur l’objet et non pas à partir de l’objet comme tel.