Sont modélisées dans ce chapitre les opérations qui permettent de relier entre eux les termes ordonnés selon deux relations asymétriques ou plus (par exemple des objets de poids et de volumes différents, considérés d'un point de vue purement qualitatif ou logique et non pas métrique). Soulignons en passant une importante remarque qui concerne la construction des opérations de ce groupement comme celles des sept autres groupements. Piaget observe (p. 157) que "les opérations des différents groupements se tiennent entre elles", ce qui implique que les constructions comme les fonctionnements effectifs des différents regroupements d'objets concrets en système de classes ou de relations s'appuient les uns sur les autres.

Une relation asymétrique a pour caractéristique d'engendrer non pas des similitudes entre objets comparés, mais des différences. Si une seule relation asymétrique permet de comparer et d'ordonner de manière univoque un ensemble d'objets, ceux-ci se laissent ranger sous la forme d'une série. Le groupement des relations asymétriques se caractérise alors par un calcul purement logique ou intensif d'équations composées de relations asymétriques ou de différences (logiques ou intensives et non pas arithmétiques) entre paires d'objets comparés (et comparables du point de vue de la relation asymétrique générale guidant l'activité comparative). Ce calcul compose (par addition ou soustraction de leurs éléments selon des règles bien déterminées) des égalités telles que la suivante: (A > B) + (B > C) = (A > C). Par exemple, si nous désignons par a la différence entre A et B, par a' la différence entre B et C, par b la différence entre A et C, par b' celle entre C et D, et c celle entre A et D, on peut en déduire que a + a' + b' = c (ce qui est une évidence, mais qui n'est accessible de manière proprement opératoire que par des enfants de 6 ans environ). Enfin, alors que les additions et soustractions de classes reviennent à inclure des sous-classes dans une classe ou à exclure des sous-classes d'une classe selon certaines règles, les additions et soustractions de relations asymétriques ou de différences peuvent être interprétées comme le déplacement dans un sens positif ou négatif d'un terme à l'autre entre les termes ordonnés par la relation asymétrique générale, cela sans aucune considération métrique (dans une sériation de trois termes, soustraire la différence entre le deuxième et le troisième conduit à revenir du troisième terme au deuxième).

Sur le plan épistémologique, l'examen logistique par Piaget de ce calcul logique et de ses règles le conduit à mettre en évidence la particularité (= absence de la propriété de vicariance des éléments composant une série hiérarchique) de ce groupement additif des relations asymétriques par opposition au groupement additif des classes (et notamment du groupement de l'addition secondaire des classes); cet examen le conduit ainsi à préparer les arguments qui permettront de comprendre dans le détail comment le nombre opératoire et ses propriétés naissent de la fusion des propriétés de classe et des relation exposées dans les chapitres 3 à 10 de "Classes, relations et nombres".

Sur le plan psychologique, le même examen permet, grâce à une meilleure compréhension de la logique des relations asymétriques, de mieux cerner les opérations logiques utilisées par les enfants confrontés à des tâches de sériation (telles que celles proposées dans des tests d'intelligence).

Sur le plan pédagogique, on voit tout l'intérêt qu'il y a d'offrir aux jeunes enfants des situations dans lesquelles ils peuvent exercer des activités ordinales à partir desquelles ils pourront construire, par abstraction réfléchissante, les groupements de sériation d'objets.

Ce chapitre étudie et modélise les emboîtements de classes qui résultent de relations co-univoques, par exemple les relations de parenté à la fois verticales (relation de père à fils, de grand-père à petit-fils, etc.) et horizontales (les frères, les cousins germains, les cousins issus de germains, etc.); mais aussi les emboîtements qui résultent de la multiplication d'une suite d'emboîtements par une autre ordonnée selon le principe des additions secondaires (groupement II).

Piaget symbolise dans ce chapitre les opérations qui interviennent lorsque, après avoir construit par addition simple (groupement I) n classifications hiérachiques de classes, on multiplie toutes ces suites de classes pour trouver ou définir les éléments qui appartiennent à toutes les classes résultant de cette multiplication (par exemple, les filles genevoises, les filles suissesse, les filles européennes... ainsi que les garçons genevois, les garçons suisses, les garçons européens..., etc), certaines des classes résultant de cette multiplication pouvant être vides – ce qui dans cet exemple n'est bien sûr pas le cas! (Dans cet esquisse d'exemple, les classes de filles qualifiées de genevoises, de suissesse, d'européennes etc., peuvent être mises en correspondance bi-univoque avec les classes de garçons qualifiés de genevois, de suisses, d'européens, etc.; et réciproquement pour les classes de garçons genevois, suisses, etc. par rapport aux classes de filles genevoises, suissesse, etc.)

Il résulte de l'analyse réalisée par Piaget une algèbre munie de règles qui permettent d'engendrer de manière quasi aveugle l'ensemble des classes résultant d'une telle multiplication de suites de classes préalablement construites par addition logique, et qui permet également de se faire une plus juste idée de l'activité intellectuelle que peut mettre en oeuvre un enfant vers l'âge de 8-9 ans.

Dans ce texte, après avoir résumé les caractéristiques de la pensée formelle telle qu’elle a été découverte chez des adolescents genevois, Piaget expose trois hypothèses pouvant expliquer la non-généralisabilité de cette découverte à tous les adolescents de même âge, et même la possible absence de cette forme de pensée lorsque les conditions sociales ne permettent pas les échanges nécessaires à son développement. Une première hypothèse repose sur le caractère plus ou moins stimulant de l’environnement social dans lequel se développement la pensée de l’enfant et de l’adolescent. Les deux autres hypothèses reposent sur la spécialisation croissante des formes de pensée à partir de l’adolescence. Dans la deuxième hypothèse, seules certaines aptitudes et spécialisations aboutiraient à la construction de la pensée hypothético-déductive chez l’adolescent. Dans la troisième hypothèse, sauf exception, tous les adolescents vivant dans un environnement suffisamment stimulant auraient la possibilité d’atteindre la pensée formelle, mais pour certains, dans leur domaine de spécialisation seulement.

Le chapitre 12 n’a pas fait l’objet d’une relecture finale. Merci de nous faire part de vos remarques permettant de procéder à la révision de ce chapitre en envoyant un courriel...

Ce texte est une première version d’un chapitre d’un ouvrage en préparation. Vu son importance concernant l’épistémologie des systèmes biologiques et cybernétiques, nous avons décidé de le mettre en valeur sur le site de la Fondation Jean Piaget, en dépit de son inachèvement relatif.