[Texte de présentation. Version au 6 octobre 2010.]

Cet article résume des recherches alors en cours ou en préparation sur l'évolution du possible et du nécessaire et présente des conclusions très importantes pour l'épistémologie constructiviste (opposée à l'épistémologie préformiste en vogue dans les années 1970). En plus de rappeler comment les trois modalités du possible, du réel et du nécessaire se différencient et se coordonnent tout au long du développement cognitif de l'être humain, Piaget y montre comment différentes formes de possibles (et notamment les possibles hypothétiques et les possibles exigibles), ainsi que le nécessaire (sous la forme des pseudo-nécessités fréquentes aussi bien chez l'enfant qu'en histoire des sciences) interviennent (dans un sens positif ou dans un sens négatif) dans la construction de nouvelles connaissances et de systèmes logico-mathématiques de plus en plus puissants. Un lien est par ailleurs établi entre le genèse du possible et du nécessaire et les notions de schème procédural (lié à la réussite, c'est-à-dire à la composition pratique des actions en vue d'atteindre un but) et les schèmes présentatifs (visant la compréhension et portant sur les objets réels ou conceptuels et leurs propriétés). Enfin, un lien est également établi entre la création de nouveaux possibles (hypothétiques ou exigibles) ouvrant la voie à de nouvelles connaissances, et le mécanisme de variation-sélection générateur des transformations biologiques.

[version 10 déc. 2009]

Après avoir brièvement décrit en avant-propos les rapports des mathématiques à la réalité physique et les problèmes épistémologiques majeurs soulevés par ces rapports, Piaget se penche sur la question de l'origine et de la signification épistémologiques du nombre.

En ce qui concerne les nombres entiers, Piaget montre comment les résultats des recherches psychogénétiques et des esquisses de modélisations logistiques qui s'y rattachent peuvent contribuer à progresser dans l'ancien débat qui opposait les tenants (dont Bertrand Russell) d'une complète réduction des nombres aux entités plus élémentaires de la logique (la classe logique pour le cardinal d'un nombre, l'ordre asymétrique logique pour le nombre ordinal) aux tenants (dont Poincaré) d'une intuition numérique irréductible aux être logiques. Des résultats de ces recherches Piaget conclut que, si le nombre n'est en effet pas entièrement réductible aux notions logiques de classe et de relation asymétrique logiques, le parallélisme de développement entre classe, relation et nombre suggère que la construction de ce dernier s'appuie en partie sur la construction des deux premières, ce qui conforte la position de Brunschvicg qui, à partir d'une analyse épistémologique serrée de la notion de nombre naturel, concluait à l'impossibilité de concevoir un nombre indépendamment de la prise en considération de la double dimension d'inclusion et de sériation qu'il renferme implicitement.

Pour Piaget d'ailleurs, si réduction il y a entre, d'un côté, le nombre et, de l'autre, la classe et la relation logiques, cette réduction n'est pas à sens unique. Certes le nombre peut être conçu comme produit d'une fusion des opérations de classification et de sériation logiques (des premières, le nombre emprunte le rôle qu'y joue la similitude ou l'équivalence réunissant sans distinction les éléments-unités dénombrés, et des secondes, l'ordre sériel établi entre ces éléments, ordre qui seul permet de les distinguer les uns des autres). Mais ces mêmes opérations de classification et de sériation peuvent tout aussi bien être conçues comme résultant d'une "dissociation" des activités d'emboîtement et de sériation intervenant dans la construction de la suite des nombres et dans l'usage du dénombrement et des opérations arithmétiques. Les groupements logiques sont certes formellement plus pauvres que le groupe des entiers numériques, ce qui tend à suggérer une antériorité (trompeuse) du logique sur l'arithmétique. Aussi la solution tracée par Piaget dans ces pages devrait-elle être nuancée de manière à inclure un résultat psychogénétique dont l'évidence s'imposera de plus en plus par la suite: la maîtrise, par l'enfant, de la quantification logique accompagnant la construction de l'inclusion logique est ou peut être plus tardive que la maîtrise de la quantification arithmétique. Ainsi un enfant de 6-7 ans peut-il porter un jugement de conservation du nombre, indice d'une déjà pleine maîtrise opératoire des premiers nombres entiers et des opérations qui les rattachent les uns aux autres, alors même que, pour lui, la question de savoir s'il y a plus d'éléments dans un sous-ensemble logique que dans l'ensemble logique dans laquelle celui-là est (visiblement ou non) inclus n'a pas ou peut ne pas avoir de sens. (Pour se faire une idée de la complexité que cette question de quantité logique peut poser aux jeunes enfants, on peut se référer au cas de la jeune Anouk, qui avait été interrogée dans le cadre des recherches longitudinales entreprises par Bärbel Inhelder et ses collaborateurs sur le développement de la pensée de l'enfant et de l'adolescent: Anouchka et l’inclusion des fleurs).

Si elle est avérée, cette antériorité de la quantification numérique élémentaire par rapport à la quantification logique implique que l'activité de réunion et d'emboîtement logiques propre à toute classification est plus simple à réaliser lorsque les propriétés distinctives qui permettent d'identifier ou de particulariser les éléments des classes emboîtées les unes dans les autres ne sont pas abstraites de la réalité empirique (comme c'est le cas pour être une tulipe, être une fleur, etc.), mais sont introduites par l'enfant de 6-7 ans qui ordonne les éléments en les dénombrant. Mais quoi qu'il en soit des nuances qu'il convient à apporter à certaines affirmations dans lesquelles Piaget semble accorder — pour des raisons qui tiennent plus de la modélisation logistique que de l'analyse psychogénétique — une sorte de primauté aux opérations logiques de classification et de sériation par rapport aux opérations arithmétiques issues de leur fusion, la thèse d'une intervention concomitante des activités (certes non nécessairement explicitée) de classification et de sériation dans la constitution du nombre opératoire reste valide, comme reste valide l'affirmation selon laquelle le nombre une fois construit contient bien des opérations qui, dans le cadre de l'activité de dénombrement, relèvent tout à la fois de l'inclusion et de la sériation, et donc de la logique des classes et de la logique des relations. Dans la suite de ce chapitre sur la pensée arithmétique, Piaget va d'ailleurs conforter cette thèse en examinant la genèse de l'axiomatisation du nombre réalisée par le mathématicien Peano à la fin du 19ème siècle.

Dans cet examen de nature épistémologique, Piaget montre comment l'absence explicite d'un recours à l'une ou l'autre des deux dimensions cardinale ou ordinale du nombre entraine la présence implicite de cette même dimension au sein des notions indéfinissable posées dans le système axiomatique proposé par le mathématicien. Au-delà de différences évidentes entre le travail d'axiomatisation réalisé par le mathématicien et les activités par lesquelles la pensée "naturelle" est amenée à construire les opérations logiques et arithmétiques (le premier tendant à exclure de le système axiomatique visé tout ce qui relève de l'activité du sujet, alors que la seconde s'emploie à opérer et à raisonner sans viser la construction d'un tel système), Piaget montre la parenté qui existe malgré tout entre la construction axiomatique et la construction psychogénétique.

D'autres thèmes sont également traité dans ce chapitre, tel que celui de la genèse historique des nombres négatifs, fractionnaires, irrationnels, mais aussi des nombres complexes et des quaternions, ainsi que du transfini (dont certaines propriétés opératoires affaiblissent «leur caractère spécifiquement numérique» et marquent «un retour partiel aux composantes logiques du nombre» (p. 129) en raison de la dissociation qui y est faite entre les ordinaux transfinis et les cardinaux transfinis. Pour chacune de ces catégories de nombres, Piaget montre le rôle fondamental joué, dans leur construction, par l'abstraction à partir des actions et de leurs coordinations, en prenant ainsi le contrepied des conceptions qui accordent un tel rôle à l'abstraction à partir de l'objet. Il montre également comment les difficultés rencontrées dans la construction des nombres négatifs, irrationnels et complexes sont liées au mécanisme de la prise de conscience, qui porte d'abord sur les résultats des actions ou des opérations, avant de porter sur ces dernières. La genèse historique de chacune de ces nouvelles catégories de nombres qui se surajoutent aux "entiers naturels" permet de faire ressortir à chaque fois le rôle prédominant de la pression organisatrice des opérations et des notions numériques préalablement acquises dans la construction, par la pensée mathématique, des nombres négatifs (et du zéro), des irrationnels, des nombres complexes, etc.

Reste alors, trois problèmes épistémologiques majeurs, dont, tout d'abord, celui de la capacité de ces nombres élaborés par abstraction à partir des coordinations d'opérations précédemment acquises à s'appliquer avec succès à la réalité physique au point que les structures qu'ils composent apparaissent comme préadaptées à cette réalité. Puisque les nombres entiers, puis rationnels, puis irrationnels, etc., ne sont pas issus par abstraction à partir des objets et de leur propriété, mais à partir des coordinations des actions puis des opérations logico-mathématiques antérieurement acquises du sujet, la solution que propose Piaget est celle de rechercher dans l'organisation biologique, point de départ des actions du sujet, et elle-même issue de la réalité physique, la raison de cette accord des nombres avec cette réalité. Mais en recourant à un mécanisme d'abstraction portant non pas sur la réalité extérieure mais in fine sur des coordinations d'actions reposant elles-mêmes sur l'organisation vitale, une telle solution ne revient-elle pas, comme la solution empiriste, à rejeter le caractère à la fois fécond et nécessaire des structures numériques? Pour rendre compte de la nécessité, Piaget évoque alors le processus d'équilibration permettant à chaque étape de construction des nombres entiers, puis irrationnels, etc., d'aboutir à des lois de composition réversible et associative des structures garantissant leur nécessité rationnelle. Quant à la fécondité, elle tient au fait que les nouvelles structures ne sont jamais mécaniquement déterminées par les précédentes, le sujet étant appelé, certes en partant de celles-ci d'en créer de nouvelles les dépassant en puissance, en étendue et en stabilité, et ceci par le moyen d'une abstraction et d'une généralisation qui sont à la fois «constructives et réflexives» (p. 141; comme l'équilibration des structures cognitives, ces deux processus d'abstraction et de généralisation portant sur les coordinations les plus générales de l'activité du sujet et non pas, comme dans les épistémologies empiristes, sur les propriétés des objets, feront l'objet d'études spécifiques et d'un examen détaillé lors de la dernière décennie de recherches dirigées par Piaget dans le cadre du CIEG).

En conclusion, ce chapitre permet au lecteur de prendre la pleine mesure de l'approche piagétienne du nombre, et du rôle essentiel qu'elle fait jouer aux actions et opérations du sujet, à leurs coordinations, ainsi qu'aux processus de construction et notamment à cette abstraction réfléchissante (ou "réflexive") et constructrice sur laquelle Piaget reviendra dans la dernière décennie de ses recherches épistémologiques.

[FJP/texte de présentation, version juillet 2012]

Cet article contient une critique des thèses préformistes radicales (dont celle de J.A. Fodor) selon lesquelles aucunes structures cognitives ne seraient acquises ou construites par les sujets, toutes ne pouvant être, par principe, que préformées ou innées. Mathématicien de formation, Henriques trouve dans le domaine des mathématiques, et plus précisément sur celui de leurs fondements, des arguments très convaincants à l'encontre du préformisme et démontrant l'antinomie à laquelle celui-ci aboutit.

A noter la distinction faite par Henriques entre le préformisme radical (ou général) et le préformisme restreint, aujourd'hui très généralement admis par différents courants psychologique. S'il échappe en apparence à l'antinomie du préformisme généralisé, le préformisme restreint ne permet en rien d'expliquer les structures jugées (biologiquement) préformées. En d'autres termes, il laisse entier le problème de leur explication et aboutit de ce fait à des attitudes inconséquentes ou à des impasses théoriques que ne manque pas de souligner l'auteur de cet article.

Dans ce texte, après avoir résumé les caractéristiques de la pensée formelle telle qu’elle a été découverte chez des adolescents genevois, Piaget expose trois hypothèses pouvant expliquer la non-généralisabilité de cette découverte à tous les adolescents de même âge, et même la possible absence de cette forme de pensée lorsque les conditions sociales ne permettent pas les échanges nécessaires à son développement. Une première hypothèse repose sur le caractère plus ou moins stimulant de l’environnement social dans lequel se développement la pensée de l’enfant et de l’adolescent. Les deux autres hypothèses reposent sur la spécialisation croissante des formes de pensée à partir de l’adolescence. Dans la deuxième hypothèse, seules certaines aptitudes et spécialisations aboutiraient à la construction de la pensée hypothético-déductive chez l’adolescent. Dans la troisième hypothèse, sauf exception, tous les adolescents vivant dans un environnement suffisamment stimulant auraient la possibilité d’atteindre la pensée formelle, mais pour certains, dans leur domaine de spécialisation seulement.

Le chapitre 12 n’a pas fait l’objet d’une relecture finale. Merci de nous faire part de vos remarques permettant de procéder à la révision de ce chapitre en envoyant un courriel...

Ce texte est une première version d’un chapitre d’un ouvrage en préparation. Vu son importance concernant l’épistémologie des systèmes biologiques et cybernétiques, nous avons décidé de le mettre en valeur sur le site de la Fondation Jean Piaget, en dépit de son inachèvement relatif.