[version 10 déc. 2009]

Après avoir brièvement décrit en avant-propos les rapports des mathématiques à la réalité physique et les problèmes épistémologiques majeurs soulevés par ces rapports, Piaget se penche sur la question de l'origine et de la signification épistémologiques du nombre.

En ce qui concerne les nombres entiers, Piaget montre comment les résultats des recherches psychogénétiques et des esquisses de modélisations logistiques qui s'y rattachent peuvent contribuer à progresser dans l'ancien débat qui opposait les tenants (dont Bertrand Russell) d'une complète réduction des nombres aux entités plus élémentaires de la logique (la classe logique pour le cardinal d'un nombre, l'ordre asymétrique logique pour le nombre ordinal) aux tenants (dont Poincaré) d'une intuition numérique irréductible aux être logiques. Des résultats de ces recherches Piaget conclut que, si le nombre n'est en effet pas entièrement réductible aux notions logiques de classe et de relation asymétrique logiques, le parallélisme de développement entre classe, relation et nombre suggère que la construction de ce dernier s'appuie en partie sur la construction des deux premières, ce qui conforte la position de Brunschvicg qui, à partir d'une analyse épistémologique serrée de la notion de nombre naturel, concluait à l'impossibilité de concevoir un nombre indépendamment de la prise en considération de la double dimension d'inclusion et de sériation qu'il renferme implicitement.

Pour Piaget d'ailleurs, si réduction il y a entre, d'un côté, le nombre et, de l'autre, la classe et la relation logiques, cette réduction n'est pas à sens unique. Certes le nombre peut être conçu comme produit d'une fusion des opérations de classification et de sériation logiques (des premières, le nombre emprunte le rôle qu'y joue la similitude ou l'équivalence réunissant sans distinction les éléments-unités dénombrés, et des secondes, l'ordre sériel établi entre ces éléments, ordre qui seul permet de les distinguer les uns des autres). Mais ces mêmes opérations de classification et de sériation peuvent tout aussi bien être conçues comme résultant d'une "dissociation" des activités d'emboîtement et de sériation intervenant dans la construction de la suite des nombres et dans l'usage du dénombrement et des opérations arithmétiques. Les groupements logiques sont certes formellement plus pauvres que le groupe des entiers numériques, ce qui tend à suggérer une antériorité (trompeuse) du logique sur l'arithmétique. Aussi la solution tracée par Piaget dans ces pages devrait-elle être nuancée de manière à inclure un résultat psychogénétique dont l'évidence s'imposera de plus en plus par la suite: la maîtrise, par l'enfant, de la quantification logique accompagnant la construction de l'inclusion logique est ou peut être plus tardive que la maîtrise de la quantification arithmétique. Ainsi un enfant de 6-7 ans peut-il porter un jugement de conservation du nombre, indice d'une déjà pleine maîtrise opératoire des premiers nombres entiers et des opérations qui les rattachent les uns aux autres, alors même que, pour lui, la question de savoir s'il y a plus d'éléments dans un sous-ensemble logique que dans l'ensemble logique dans laquelle celui-là est (visiblement ou non) inclus n'a pas ou peut ne pas avoir de sens. (Pour se faire une idée de la complexité que cette question de quantité logique peut poser aux jeunes enfants, on peut se référer au cas de la jeune Anouk, qui avait été interrogée dans le cadre des recherches longitudinales entreprises par Bärbel Inhelder et ses collaborateurs sur le développement de la pensée de l'enfant et de l'adolescent: Anouchka et l’inclusion des fleurs).

Si elle est avérée, cette antériorité de la quantification numérique élémentaire par rapport à la quantification logique implique que l'activité de réunion et d'emboîtement logiques propre à toute classification est plus simple à réaliser lorsque les propriétés distinctives qui permettent d'identifier ou de particulariser les éléments des classes emboîtées les unes dans les autres ne sont pas abstraites de la réalité empirique (comme c'est le cas pour être une tulipe, être une fleur, etc.), mais sont introduites par l'enfant de 6-7 ans qui ordonne les éléments en les dénombrant. Mais quoi qu'il en soit des nuances qu'il convient à apporter à certaines affirmations dans lesquelles Piaget semble accorder — pour des raisons qui tiennent plus de la modélisation logistique que de l'analyse psychogénétique — une sorte de primauté aux opérations logiques de classification et de sériation par rapport aux opérations arithmétiques issues de leur fusion, la thèse d'une intervention concomitante des activités (certes non nécessairement explicitée) de classification et de sériation dans la constitution du nombre opératoire reste valide, comme reste valide l'affirmation selon laquelle le nombre une fois construit contient bien des opérations qui, dans le cadre de l'activité de dénombrement, relèvent tout à la fois de l'inclusion et de la sériation, et donc de la logique des classes et de la logique des relations. Dans la suite de ce chapitre sur la pensée arithmétique, Piaget va d'ailleurs conforter cette thèse en examinant la genèse de l'axiomatisation du nombre réalisée par le mathématicien Peano à la fin du 19ème siècle.

Dans cet examen de nature épistémologique, Piaget montre comment l'absence explicite d'un recours à l'une ou l'autre des deux dimensions cardinale ou ordinale du nombre entraine la présence implicite de cette même dimension au sein des notions indéfinissable posées dans le système axiomatique proposé par le mathématicien. Au-delà de différences évidentes entre le travail d'axiomatisation réalisé par le mathématicien et les activités par lesquelles la pensée "naturelle" est amenée à construire les opérations logiques et arithmétiques (le premier tendant à exclure de le système axiomatique visé tout ce qui relève de l'activité du sujet, alors que la seconde s'emploie à opérer et à raisonner sans viser la construction d'un tel système), Piaget montre la parenté qui existe malgré tout entre la construction axiomatique et la construction psychogénétique.

D'autres thèmes sont également traité dans ce chapitre, tel que celui de la genèse historique des nombres négatifs, fractionnaires, irrationnels, mais aussi des nombres complexes et des quaternions, ainsi que du transfini (dont certaines propriétés opératoires affaiblissent «leur caractère spécifiquement numérique» et marquent «un retour partiel aux composantes logiques du nombre» (p. 129) en raison de la dissociation qui y est faite entre les ordinaux transfinis et les cardinaux transfinis. Pour chacune de ces catégories de nombres, Piaget montre le rôle fondamental joué, dans leur construction, par l'abstraction à partir des actions et de leurs coordinations, en prenant ainsi le contrepied des conceptions qui accordent un tel rôle à l'abstraction à partir de l'objet. Il montre également comment les difficultés rencontrées dans la construction des nombres négatifs, irrationnels et complexes sont liées au mécanisme de la prise de conscience, qui porte d'abord sur les résultats des actions ou des opérations, avant de porter sur ces dernières. La genèse historique de chacune de ces nouvelles catégories de nombres qui se surajoutent aux "entiers naturels" permet de faire ressortir à chaque fois le rôle prédominant de la pression organisatrice des opérations et des notions numériques préalablement acquises dans la construction, par la pensée mathématique, des nombres négatifs (et du zéro), des irrationnels, des nombres complexes, etc.

Reste alors, trois problèmes épistémologiques majeurs, dont, tout d'abord, celui de la capacité de ces nombres élaborés par abstraction à partir des coordinations d'opérations précédemment acquises à s'appliquer avec succès à la réalité physique au point que les structures qu'ils composent apparaissent comme préadaptées à cette réalité. Puisque les nombres entiers, puis rationnels, puis irrationnels, etc., ne sont pas issus par abstraction à partir des objets et de leur propriété, mais à partir des coordinations des actions puis des opérations logico-mathématiques antérieurement acquises du sujet, la solution que propose Piaget est celle de rechercher dans l'organisation biologique, point de départ des actions du sujet, et elle-même issue de la réalité physique, la raison de cette accord des nombres avec cette réalité. Mais en recourant à un mécanisme d'abstraction portant non pas sur la réalité extérieure mais in fine sur des coordinations d'actions reposant elles-mêmes sur l'organisation vitale, une telle solution ne revient-elle pas, comme la solution empiriste, à rejeter le caractère à la fois fécond et nécessaire des structures numériques? Pour rendre compte de la nécessité, Piaget évoque alors le processus d'équilibration permettant à chaque étape de construction des nombres entiers, puis irrationnels, etc., d'aboutir à des lois de composition réversible et associative des structures garantissant leur nécessité rationnelle. Quant à la fécondité, elle tient au fait que les nouvelles structures ne sont jamais mécaniquement déterminées par les précédentes, le sujet étant appelé, certes en partant de celles-ci d'en créer de nouvelles les dépassant en puissance, en étendue et en stabilité, et ceci par le moyen d'une abstraction et d'une généralisation qui sont à la fois «constructives et réflexives» (p. 141; comme l'équilibration des structures cognitives, ces deux processus d'abstraction et de généralisation portant sur les coordinations les plus générales de l'activité du sujet et non pas, comme dans les épistémologies empiristes, sur les propriétés des objets, feront l'objet d'études spécifiques et d'un examen détaillé lors de la dernière décennie de recherches dirigées par Piaget dans le cadre du CIEG).

En conclusion, ce chapitre permet au lecteur de prendre la pleine mesure de l'approche piagétienne du nombre, et du rôle essentiel qu'elle fait jouer aux actions et opérations du sujet, à leurs coordinations, ainsi qu'aux processus de construction et notamment à cette abstraction réfléchissante (ou "réflexive") et constructrice sur laquelle Piaget reviendra dans la dernière décennie de ses recherches épistémologiques.

[Le document PDF associé à la présente entrée contient la table des matières de "Morphismes et catégories". Les chapitres de ce livre paru 10 ans après le décès de Piaget et aujourd'hui épuisé sont tous accessibles ICI (sous année 1990). Sont ainsi mis à disposition la préface de S. Papert, l'introduction et la conclusion de Piaget, deux chapitres théoriques de E. Ascher et de G. Henriques, ainsi que l'ensemble des chapitres expérimentaux.]

Cet ouvrage se penche prioritairement sur l'une des deux activités qui intervient sans cesse dans le rapport du sujet à l'objet: non plus celle de transformer, agir ou opérer sur des objets réels ou intellectuels, mais comparer, établir ou trouver des correspondances et relations entre objets. Certes l'épistémologie et la psychologie piagétiennes n'en continue pas moins de placer au coeur de ses explications de l'acquisition des connaissances et de la construction de l'intelligence le rôle primordial de l'activité du sujet, ou encore de l'action et de son organisation. En cela, en continuité avec la filiation kantienne, elle prend le contre-pied de toutes les conceptions qui situent dans l'extériorité ou le préalablement donné la source et l'explication de cette acquisition et de cette construction. Cependant, et toujours en accord avec l'idéalisme ou le réalisme critique kantien, Piaget n'en juge pas moins que l'expérience, les faits sont une composante tout autant nécessaire du connaître. En d'autres termes, pas de connaissance sans assimilation, et pas d'assimilation sans accommodation, la seconde étant néanmoins, autant que la première, activité du sujet. L'assimilation est l'activité par laquelle le sujet (et ses schèmes) détermine son objet en lui surimposant un cadre, une forme et en lui attribuant une signification. Aux moyens de ses schèmes, le sujet saisit la réalité empirique (ou la réalité symbolique), opère sur elle et ce faisant apprend à la connaître. Cependant l'accommodation (qui va de pair avec l'assimilation), est aussi une activité, mais qui, grâce aux schèmes d'assimilation préalablement construits, ne cherche pas prioritairement à modifier mais à se calquer sur la forme des objets, réels ou construits, auxquels le sujet se frotte et qu'il cherche à connaître, en modifiant du même coup non pas ces objets, mais les schèmes eux-mêmes d'assimilation alors mis en oeuvre. Le sujet découvre ainsi, par accommodation (perceptive puis expérimentale) les régularités, les relations propres aux objets qu'il considère. Grâce aux instruments d'assimilation construit par abstraction réfléchissante portant sur l'organisation de ses actions puis de ses opérations, en d'autres termes sur l'ordre logico-mathématique qui leur est propre, le sujet peut découvrir dans le réel appréhendé, par accommodation, les relations inhérentes à ces objets d'expérience ou que lui-même y a introduites sans qu'il en ait généralement conscience.

Avant les recherches portant sur les correspondances et les morphismes, même s'il savait bien que cette activité accommodatrice était elle aussi une condition du progrès des connaissances et de l'intelligence, Piaget l'avait le plus souvent laissée au second plan de ses préoccupations (la connaissance des états ou la connaissance figurative étant alors uniquement conçues comme une étape préalable à l'apparition ultérieure de la connaissance opératoire des transformations). Par contre, avec ces nouvelles recherches sur les correspondance et les morphismes, il accorde pour la première fois toute son attention théorique aussi bien qu'empirique à la démarche par laquelle le sujet compare ses objets de perception ou de pensée, en extrait les formes et les mets en correspondance, non sans rester attentif à la façon dont l'opératoire intervient dans la progression des mises en correspondance. Ce faisant, il montre que ce qui relève de l'activité accommodatrice (=les schèmes figuratifs ou, disons, morphismiques) peut étayer la formation de nouveaux systèmes opératoires et non pas seulement être la résultante de la progression des activités transformatrices. Cette démarche qui porte attention autant aux activités comparatives qu'aux activités transformatrices est d'autant plus probante qu'elle peut s'appuyer sur la théorie mathématique des morphismes et des catégories alors en plein essor; celle-ci lui offre l'opportunité de mieux appréhender ce rapport dialectique entre ces deux types d'activité ou plutôt entre ces deux orientations de l'activité cognitive du sujet. En retour, appuyés sur les enquêtes psychogénétiques exposées dans "Morphismes et catégories", les chapitres théoriques de cet ouvrage apparaissent en partie comme susceptible de clarifier le statut épistémologique de ces nouveaux être mathématiques.

[Texte de présentation — Version du 15 mai 2012.]

Suivi de deux commentaires, l'un de Marc Richelle et l'autre de Sabine Ploux, cet article a été publié dans le numéro 33 d'Intellectica édité par Jacques Montagero et qui avait pour objet "Jean Piaget et les sciences cognitives". Ce numéro est disponible dans son intégrité sur le site de la revue.

[Texte de présentation, version du 4 mai 2012.]

Dans ce bref article publié en 1954 dans la revue Dialectica, Piaget répond au philosophe suisse romand Henri Miéville qui, dans une étude sur l’idée même de vérité, mettait en doute la possibilité d’une épistémologie génétique visant à résoudre des problèmes de théorie de la connaissance au moyen du seul recours aux méthodes scientifiques de la psychologie, de la sociologie, de la logique, etc. Un tel projet ne pourrait qu’échouer dans la mesure où elle exigerait le recours à deux inconditionnés transcendantaux préalables: (1) le principe d’identité ou le postulat de l’existence d’un invariant, ainsi que (2) un équilibre idéal également présupposé et qui expliquerait que la raison n’évolue pas sans raison. Pour Piaget, la seule issue possible pour éviter les aléas de la réflexion philosophique consiste précisément à ne pas présupposer autre chose que les exigences méthodologiques, certes circulaires, des sciences impliquées dans le projet de l’épistémologie génétique — sciences comme la psychologie et la sociologie, en ce qui concerne les faits cognitifs, et sciences logiques en ce qui concerne tout ce qui touche à la déduction et à la modélisation concernant ces faits. Or ce que l’épistémologie génétique a jusqu’alors montré est que l’essor des jugements d’identité, et donc du principe d’identité, chez les sujets est intimement lié à l’acquisition de structures opératoires assurant la réversibilité de la pensée, et d’autre part que l’évolution de la raison révèle un accroissement d’équilibre, ce qui n’implique en rien le présupposé d’un équilibre idéal préexistant. Un double constat qui justifie à lui seul l’intérêt de l’épistémologie génétique —et donc d'une épistémologie scientifique au sens défini plus haut— pour la résolution de problèmes classiques de théorie de la connaissance.

Piaget reviendra au cours des années 1960 et 70 sur cette question du rôle et de la signification du principe d'identité dans la genèse des notions de conservation (voir par exemple le volume des Etudes d'épistémologie génétique rapportant les recherches entreprises au CIEG sur «L'épistémologie et la psychologie de l'identité», EEG24).

Dans ce texte, après avoir résumé les caractéristiques de la pensée formelle telle qu’elle a été découverte chez des adolescents genevois, Piaget expose trois hypothèses pouvant expliquer la non-généralisabilité de cette découverte à tous les adolescents de même âge, et même la possible absence de cette forme de pensée lorsque les conditions sociales ne permettent pas les échanges nécessaires à son développement. Une première hypothèse repose sur le caractère plus ou moins stimulant de l’environnement social dans lequel se développement la pensée de l’enfant et de l’adolescent. Les deux autres hypothèses reposent sur la spécialisation croissante des formes de pensée à partir de l’adolescence. Dans la deuxième hypothèse, seules certaines aptitudes et spécialisations aboutiraient à la construction de la pensée hypothético-déductive chez l’adolescent. Dans la troisième hypothèse, sauf exception, tous les adolescents vivant dans un environnement suffisamment stimulant auraient la possibilité d’atteindre la pensée formelle, mais pour certains, dans leur domaine de spécialisation seulement.

Le chapitre 12 n’a pas fait l’objet d’une relecture finale. Merci de nous faire part de vos remarques permettant de procéder à la révision de ce chapitre en envoyant un courriel...

Ce texte est une première version d’un chapitre d’un ouvrage en préparation. Vu son importance concernant l’épistémologie des systèmes biologiques et cybernétiques, nous avons décidé de le mettre en valeur sur le site de la Fondation Jean Piaget, en dépit de son inachèvement relatif.