[Les chapitres de cet ouvrage sont téléchargeables ICI.]

Cet ouvrage est le résultat d'un travail systématique de classification et de modélisation logistique des opérations logiques de la pensée naturelle réalisé par Piaget en synergie avec ses nombreuses enquêtes effectuées sur la psychogenèse de la pensée logico-mathématique de l'enfant. Il contient des informations précieuses qui permettent de mieux cerner ce que l'auteur a à l'esprit lorsqu'll distingue, par exemple, la logique des classes (basée sur les relations d'équivalence) de la logique des relations (basée sur les relations asymétriques). On y voit à l'œuvre cet extraordinaire esprit de synthèse qui a permis à Piaget de relier logique et psychologie de la pensée, sans rien sacrifier de l'apport et des particularités respectifs des deux disciplines dans l'état qui étaient le leur dans les deux premières décennies du 20e siècle. La vigueur et l'ampleur de cette synthèse ont permis à son auteur de dresser un tableau à la fois précis et relativement exhaustif des opérations logico-mathématiques grâce auxquelles la pensée humaine organise de manière en grande partie équilibrée et cohérente sa représentation et sa conception du monde, ainsi que les interactions qu'elle entretient avec celui-ci (échanges intersubjectifs compris).

Cela dit, la lecture de ce texte offre une double difficulté pour le lecteur. En plus des coquilles qu l'on rencontre dans l'écriture des équations (presque inévitable dans un ouvrage de ce genre), la démarche "logistique" adoptée par Piaget s'inscrit dans celle adoptée par les logiciens et les mathématiciens jusqu'au début du 20e siècle (d'Aristote jusqu'aux Principia Mathematica de Russell et de Whitehead, en passant par Leibniz), qui mélange – avec un moindre souci de précision formelle que ce qui est requis aujourd'hui – le choix d'un langage symbolique et l'appui sur l'intuition et les exemples concrets. Les recherches sur les fondements des mathématiques exigeront dès le début du XXe siècle non seulement de séparer plus complètement voire radicalement les deux moments de la recherche intuitive (prônée par Poincaré) et de la symbolisation, mais de faire reposer cette dernière sur des exigences formelles telles que l'exposé ne laisse plus place, sinon à des fins didactiques, à l'intuition dans la définition et l'usage du symbolisme propre au raisonnement logico-mathématique formel. Piaget, qui ne prétent pas faire œuvre de logicien au sens contemporain du terme, ne suit pas ces exigences. Ceci implique que, en plus d'assimiler le symbolisme en grande partie original et non toujours univoque créé par Piaget, le lecteur doit constamment s'efforcer de prendre en considération des éléments d'arrière-plan non exprimés et qui donnent leur pleine signification aux définitions piagétiennes et à leur développement, en laissant ainsi une certaine marge à l'interprétation. Mais pour qui accepte la démarche adoptée par l'auteur et fait l'effort de reconstruire cet arrière-plan de signification, il semble que l'essai de logistique réalisé par Piaget comporte un réel apport scientifique, non seulement du point de vue de la modélisation de l'intelligence logico-mathématique en ses différentes étapes de développement, mais du point de vue d'une contribution, certes mineure, à l'étude des structures mathématiques. Il est aujourd'hui impossible de savoir ce que les futurs historiens de la logique et des mathématiques retiendront des efforts de Piaget en matière de logistique. Peut-être rien, mais peut-être plus que ce qui est aujourd'hui admis…

Dans une première partie de ses conclusions, Piaget montre, par une analyse logique des compositions opératoires en jeu dans les différents groupements logiques, les raisons pour lesquelles ceux-ci peuvent, à l'égal des structures de groupe de l'arithmétique, être considérés comme des groupements au sens mathématique: pour autant que l'on prenne comme élément non pas les opérations logiques isolées (addition, soustraction, multiplication et division logiques), mais les équations dans lesquelles celles-ci opèrent, on retrouve dans ces groupements des lois de composition similaires à, quelques restrictions près, à celles qui caractérisent les structures numériques. De façon symétrique la seconde partie des conclusions montre alors en quoi les propriétés d'associativité, de substitution, etc. qui caractérisent les équations logiques n'ont pas qu'une valeur formelle, mais caractérisent également les modalités réelles de fonctionnement de la pensée humaine à partir d'un certain niveau de développement.

Ce chapitre de synthèse prend position sur la nature des relations entre classes, relations et nombres. Piaget y montre comment les mécanismes communs de colligation, de sériation et de correspondance qui tous interviennent dans la constitution des classes, des relations (asymétriques) et des nombres se différencient en tant qu'ils composent soit des classes, soit des relations, soit des nombres. Selon que l'activité de pensée privilégie les qualités communes, ou au contraire la graduation (sans unité homogène) de ces qualités, ou bien enfin la quantification (au moyen d'unités homogènes) de cette graduation, il en résulte des classes, des relations (asymétriques qualitatives) ou des nombres. Cette analyse permet à Piaget de montrer les parentés et les différences entre les groupements d'opérations logiques et le groupe(ment) arithmétique, et de proposer une solution originale face au réductionnisme logique de Russell et à l'intuitionnisme de Poincaré qui insistait sur l'irréductibilité du nombre à la classe.

Piaget discute également dans ce chapitre la question de la fécondité et de la nécessité de la pensée logico-mathématique: la non-contradiction de cette pensée réside dans la "réversibilité des opérations qui la composent" et qui, en outre, assurent sa fécondité (p. 271; concernant la réversibilité, Piaget renvoie à son ouvrage de 1924 sur Le jugement et le raisonnement chez l'enfant, JP24_0). L'analyse qu'il propose des groupements de classes, de relations et de nombres révèle les raisons pour lesquelles les groupements de relations (asymétriques) sont plus féconds, plus riches en compositions, que les groupements de classes, et par ailleurs moins féconds que les compositions numériques.

Dans ce long chapitre, Piaget détermine "les conditions de passage des groupements logique I à VIII aux deux groupes arithmétiques" de l'addition des nombres entiers positifs et négatifs et de la multiplication des nombres positifs, entiers et fractionnaires. Il prend du même coup position contre les thèses logicistes de Russell et Whitehead, qui affirment définir le nombre à partir du concept de classes logiques. Pour Piaget au contraire, qui reprend et développe ici une thèse de Brunschvicg, de telles tentatives logicistes ne réussissent que dans la mesure où il est simultanément, quoique non explicitement, fait appel à la logique des relations asymétriques… Ce onzième chapitre contient aussi une section sur les cardinaux et les ordinaux transfinis, dont Piaget montre qu'ils obéissent, les premiers à la logique des classes (groupements I-IV), les seconds à la logique des relations asymétriques (groupements V-VIII), et non pas aux lois des groupes arithmétiques. Piaget y traite aussi de la structure des ensembles mathématique. La structure d'un tel ensemble découle des opérations qui le constituent et lui sont rattachées.

En définitive, cet examen des transfinis et des ensembles confirme le but ultime, à savoir épistémologique, des analyses logistiques et psychologiques auxquelles procède Piaget dans cet ouvrage fondamental. Ce but nous semble être atteint au terme d'un travail systématique d'abstraction réfléchissante réalisé sur les activités de mises en correspondance, de classification et de sériation qui sous-tendent et aboutissent aux équations décrites dans ce chapitre (et dans les précédents), ainsi qu'aux commentaires qui les accompagnent.

[Modification FJP 20 avril 2012: nous avons légèrement retouché la feuille 5 de ce chapitre; la substitution de "C" par "B" annoncée en note au bas de la page 183 de ce chapitre n'avait pas été introduite dans la version mise sur internet en février 2008.]

Ce chapitre modélise les relations multiplicatives qui peuvent être établies entre les relations asymétriques d'une suite additive simple de relations par les relations symétriques de suites additives secondaires. Ce sont les relations qui existent entre, par exemple, la filiation directe (le fils, le petit-fils, l'arrière-petit-fils, etc., c'est-à-dire l'arrière-petit-fils, son père, son grand-père, son arrière-grand-père, etc.) et les relations du type: avoir le même grand-père que X mais pas le même père (donc être cousin-germain). En multipliant de telle relation, on peut penser un lien de parenté tel qu'être le père du cousin-germain de Y). Autre exemple: ce type de multiplication des relations permet de comprendre que "si A est le grand-père du cousin issu de germains de B, alors il est le frère du grand-père de B", mais aussi que "B est le petit-fils du frère de A". Dernier exemple, le symbolisme adopté par Piaget permet de représenter le fait que "A, grand-père des cousins-germains de B" est aussi le grand-père de B. Des règles de calcul permettent alors de circuler dans l'arbre des relations verticales et horizontales qui relient tous les descendants d'un même ancêtre, à quelque distance que ce soit, ou de relier les uns aux autres tous les descendants d'un groupe de frères, etc.

Ici encore, on se représentera d'autant plus aisément (ce qui n'est pas chose aisée) la modélisation de Piaget si l'on applique Piaget à lui-même et que l'on fait l'hypothèse que le symbolisme choisi découle d'un travail d'abstraction réfléchissante que l'auteur fait sur sa propre activité de pensée lorsqu'il s'efforce de saisir les relations de parenté qui peuvent exister entre des membres plus ou moins éloignés d'une même famille. Ce symbolisme reflète alors assez directement les compositions de relations reliant les membres d'une même famille à travers les générations, ainsi que les équivalences possibles entre les manières de relier deux membres plus ou moins éloignées (ou les chemins à parcourir pour relier ces membres dans l'arbre représentant la totalité des relations de parenté possible pour les descendants d'une fratrie).

Ce groupement particulièrement complexe, qui clôt le travail de modélisation de la logique des classes et des relations révèle comment, dans les faits, les opérations de classe et de relation s'enchevêtrent dans le fonctionnement réel de la pensée (les relations symétriques unissent des individus appartenant à une même classe qui elle-même se définit en fonction des relations asymétriques, par exemple la relation qui unit les cousins germains au même grand-père, etc.). C'est la raison pour laquelle la construction des différents groupements se fait en synergie et qu'il faut attendre l'âge de 9-10 ans pour que la totalité des opérations en jeu dans les différents groupements et leurs multiples implications soit "complètement" maîtrisée (abstraction faite des problèmes de mémoire, de fatigue, d'attention, mais aussi de familiarisation avec le contenu traité – dans l'exemple les relations symétriques et asymétriques de relation)…

Dans ce texte, après avoir résumé les caractéristiques de la pensée formelle telle qu’elle a été découverte chez des adolescents genevois, Piaget expose trois hypothèses pouvant expliquer la non-généralisabilité de cette découverte à tous les adolescents de même âge, et même la possible absence de cette forme de pensée lorsque les conditions sociales ne permettent pas les échanges nécessaires à son développement. Une première hypothèse repose sur le caractère plus ou moins stimulant de l’environnement social dans lequel se développement la pensée de l’enfant et de l’adolescent. Les deux autres hypothèses reposent sur la spécialisation croissante des formes de pensée à partir de l’adolescence. Dans la deuxième hypothèse, seules certaines aptitudes et spécialisations aboutiraient à la construction de la pensée hypothético-déductive chez l’adolescent. Dans la troisième hypothèse, sauf exception, tous les adolescents vivant dans un environnement suffisamment stimulant auraient la possibilité d’atteindre la pensée formelle, mais pour certains, dans leur domaine de spécialisation seulement.

Le chapitre 12 n’a pas fait l’objet d’une relecture finale. Merci de nous faire part de vos remarques permettant de procéder à la révision de ce chapitre en envoyant un courriel...

Ce texte est une première version d’un chapitre d’un ouvrage en préparation. Vu son importance concernant l’épistémologie des systèmes biologiques et cybernétiques, nous avons décidé de le mettre en valeur sur le site de la Fondation Jean Piaget, en dépit de son inachèvement relatif.