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Lorsque deux événements se déroulent simultanément dans le temps (par exemple le remplissement simultané de deux verres d'eau identiques, avec le niveau de l'eau s'élevant pareillement dans les deux verres), un enfant dès l'âge de 4-5 ans n'a pas de peine à juger qu'il a fallu le même temps pour chacun de ces événements (l'égalité de temps se confond pour lui avec l'égalité visible des niveaux). Par contre il suffit que les deux verres soient de forme différente pour que les durées écoulées soient jugées différentes, cela alors même que le début et la fin du remplissement sont très visiblement simultanés, de même que le remplissement simultané des deux verres (ce qui confirme les résultats présentés dans le chapitre 4). Un peu plus tard, vers 6-7 ans, les enfants en viennent empiriquement à juger que la durée était la même, en pouvant par exemple prendre appui sur le fait qu'il y a la même quantité de liquide qui a été dans chacun des deux verres. Mais il faut attendre 7-8 ans en moyenne pour que les enfants affirment d'emblée, en s'appuyant notamment sur le synchronisme des remplissements, que les durées sont nécessairement égales. Piaget présente dans le détail les conditions cognitives qui permettent aux enfants d'aboutir à un jugement purement temporel de l'égalité (infra)logique (c'est-à-dire non métrique) des durées écoulées.
Dans les dernières pages de ce chapitre, Piaget présente les faits qui montrent que le jugement par lequel un enfant de stade opératoire affirme d'emblée et justifie l'égalité des durées va de pair avec la capacité d'utiliser la relation logique de transitivité pour juger l'égalité de durée de remplissement entre deux suites d'événements qui ne se sont pas déroulées simultanément (par exemple, remplissement simultané de deux verres A et B, puis remplissement simultané, avec le même dispositif physique et toujours avec la même vitesse d'écoulement du verre B et d'un troisième verre C: l'enfant opératoire affirme sans hésiter l'égalité des durées A et C après avoir affirmé d'emblée l'égalité des durées A et B, puis B et C).
De la même façon que, dans le chapitre 4, Piaget a montré comment la structure des opérations de la logique des classes est plus pauvre que la structure des opérations portant sur les ensembles mathématiques (et en particulier sur l’ensemble des nombres entiers), de la même façon montre-t-il, dans ce dernier chapitre de l'Essai de logique opératoire, que l’on ne saurait réduire le raisonnement mathématique au raisonnement logique (élémentaire, c’est-à-dire inhérent à la logique des propositions). Si les inférences propres à la logique des propositions sont effectivement partie intégrante du raisonnement mathématique, elles sont complétées par des inférences (le raisonnement par récurrence notamment) dans lesquelles interviennent des liaisons étrangères au seul raisonnement logique. L’examen auquel Piaget procède ici révèle donc en quoi l’on ne saurait réduire le raisonnement mathématique au raisonnement logique (élémentaire), quand bien même le premier s’inscrit en filiation du second qu’il intègre (de la même façon que les opérations numériques, fruit de la fusion des opérations de classes et de relations, s’inscrivent en filiation de ces dernières, tout en acquérant des propriétés mathématiques et une puissance opérative inconnues des seules opérations logiques).
Toujours de façon similaire à ce qui caractérise les propriétés des (structures de) classes et (de) relations logiques comparativement aux propriétés des (structures d’) ensembles mathématiques, la généralité des raisonnements mathématiques est plus grande non seulement en extension mais également en compréhension comparativement à la généralité du raisonnement logique. La généralisation qui permet de passer de celui-ci au raisonnement mathématique offre ainsi ce caractère de généralisation constructive que détermineront les recherches sur la généralisation conduites au CIEG dans les années 1970 (JP78a).
Enfin, dans les dernières sections de ce chapitre, Piaget expose les problèmes que soulèvent les principes de non-contradiction et du tiers-exclu dans les démonstrations portant sur les ensembles non-finis. Mis en évidence par les logiciens de l’école intuitionniste (Brouwer en particulier), ces problèmes révèlent eux aussi l’écart qui existe entre le raisonnement logique élémentaire (basé sur la logique des propositions) et les raisonnements mathématiques portant sur les ensembles non-finis, hormis ceux pouvant être construits au moyen d’une procédure bien déterminée. Mais en réaction à cette découverte des limitations du raisonnement logique élémentaire, les logiciens, en poursuivant l’objectif de formalisation de la mathématique, en sont arrivés à construire des logiques plus puissantes que la logique bivalente classique (Piaget prend pour exemples 1. la logique intuitionniste trivalente, intégrant l’absurde aux côtés de vrai et du faux, 2. la logique sans négation et donc non-réversible, ou encore 3. la logique polyvalente). Ce qui montre que la seule façon de réduire de manière relativement convaincante la mathématique à la logique est d’enrichir cette dernière de manière à ce qu’elle parvienne à formaliser les processus de raisonnement ou de déduction propres aux mathématiques (en d’autres termes, à mathématiser la logique en lui incorporant un mécanisme de récurrence emprunté à l’arithmétique, à lui faire perdre son caractère purement formel au sens de détaché de tout contenu).
Ce chapitre s’achève par une interprétation originale des limitations de toute tentative de formaliser l’arithmétique et d’en démontrer la non contradiction au moyen de méthodes incluses dans le système formel utilisé (théorèmes de Gödel). Cette interprétation repose sur la thèse selon laquelle la non-contradiction logique utilisée dans un tel système formel serait trop pauvre, « trop peu affinée » pour pouvoir démontrer la non-contradiction de la théorie mathématique formalisée au moyen de ce système. En d’autres termes, qui renvoient cette fois également aux différentes structures d’opérations logico-mathématiques étudiées en psychologie génétique, les différents niveaux de réversibilité opératoire propre aux structures extensives (ou mathématiques) seraient tous plus puissants que les formes de réversibilité opératoire propres aux structures intensives, et plus particulièrement aux structures de groupements logiques (la non-contradiction d’un système découlant de sa réversibilité opératoire). Si la logique et les mathématiques peuvent en un sens être unifiée, c’est avant tout parce qu’elles sont soumises à un « principe régulateur qui les dépasse et qui est la réversibilité des mécanismes opératoires », mais une réversibilité qui se différencie selon le niveau de puissance et de fécondité constructive des opérations en jeu (le seul domaine qui échappe à ce principe étant celui des «opérations portant sur un infini non construit», qui seules sont irréversibles…)
Après avoir exposé, dans un bref avant-propos, le sens général de cet ouvrage, son plan ainsi que le rapport de son auteur avec la biologie, Piaget présente, dans le premier chapitre de son livre, les problèmes centraux qui y seront traités, dont celui des rapports entre les processus de régulation biologiques (tout particulièrement ceux qui concernent le système génétique et ses transformations) et les processus de régulation cognitive. La thèse majeure défendue ici est celle d’une continuité entre les processus biologiques et les processus cognitifs (cette continuité s’accompagnant d’importantes différences entre ces deux niveaux de régulation qui seront examinées dans le chapitre de conclusion). A noter que, dans les années 1950 et 1960, Piaget est probablement en avance sur l’évolution du courant dominant la biologie néo-darwinienne en ce qu’il soutient, avec Waddington, que le développement embryogénique est loin d’être complètement préprogrammé dans le génome, et qu’il y a donc une construction épigénétique qui joue un rôle non négligeable dans l’évolution des espèces.
Autre thème important annoncé dans ce chapitre d’introduction: l’existence d’une communauté de problèmes entre l’évolution biologique et l’évolution cognitive, dont, par exemple, le problème de savoir si les formes biologiques ou les formes cognitives sont préformées, ou celui du caractère séquentiel ou non de la suite de stades franchis en embryogenèse biologique ou en psychogenèse cognitive, ou encore celui de l’accélération possible de passage d’un stade à l’autre, etc., ou enfin celui des relations entre les processus homothétiques qui régulent le développement et les processus homéostatiques qui régulent l’équilibre final.
Enfin, Piaget développe dans ce chapitre son hypothèse selon laquelle les régulations cognitives aboutissant aux opérations logico-mathématiques sont le prolongement des autorégulations morphogénétiques (sans organe spécialisé de régulation) se prolongeant en régulations simultanément structurales et fonctionnelles et qui aboutissent enfin à des régulations purement fonctionnelles (non génératrices de modifications anatomiques).
Notons encore que la notion de représentation utilisée par Piaget pour décrire les capacités d'action mises en jeu par l'enfant du 6e stade n'implique pas qu'il y ait déjà une activité de représentation opératoire des mouvements de l'objet, contrairement à ce dont il sera capable quelques années plus tard. Dans les années 1960, Piaget et Inhelder effectueront d'ailleurs des recherches sur l'image mentale qui démontreront que ce n'est pas avant la construction des opérations géométriques élémentaires (entre 6 et 9 ans environ) que les enfants seront à même de se représenter de manière adéquate le mouvement ou les déplacements des objets (JP66a).
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