D'emblée Piaget présente dans ce chapitre une vision complètement renouvelée de l'équilibration qui en 1957 déjà (JP57) était considérée comme le facteur explicatif central de la genèse des structures de la raison pratique, intellectuelle et morale, ainsi que de l'intelligence sensori-motrice et de la construction de la réalité perçue chez le bébé. Il ne s'agit plus, dans cette nouvelle approche, de livrer un modèle statistique et relativement abstrait de l'équilibration largement inspiré des théories et des concepts de la mécanique classique et de la thermodynamique. Le but est maintenant beaucoup plus ambitieux: décrire le plus concrètement possible, en s'inspirant des nombreux faits recueillis dans des recherches idoines, mais sans perdre la généralité théorique, le "mécanisme causal" de l'équilibration et de ses variétés. Retrouvant la richesse de l'approche tout à la fois organique et fonctionnelle autant que structurale qui était celle des travaux sur la naissance de l'intelligence et de la construction du réel chez l'enfant entre 0 et 2 ans (JP36, JP37), Piaget commence par rappeler comment l'intelligence humaine est le fait de schèmes assimilant la réalité extérieure (à laquelle il donne sens) et s'y accommodant; ainsi que de systèmes composés de schèmes exigeant par la force des choses des assimilations et des accommodations réciproques. De ce rappel des recherches des années trente, mais aussi du rappel implicite de l'intuition de départ de toute l'oeuvre de Piaget – le rôle primordial des totalités, de leurs parties, et de la conservation mutuelle qui les rattachent les unes aux autres –, résulte une démultiplication des fonctions et des variétés de l'équilibration. Toutes découlent de l'équilibration la plus fondamentale, celle qui se produit entre l'assimilation et l'accommodation qui sont, aux yeux de Piaget, les processus les plus généraux caractérisant les systèmes vivants, à quelque niveau que ce soit (biologique, psychologique, social). Cette équilibration se décline ensuite entre celle qui implique l'organisme et son milieu, ou, sur les plans psycho-sociologiques et cognitifs, le sujet et l'objet, mais aussi celle qui porte sur les parties (celles, organes, schèmes) dans la mesure où celles-ci en viennent à se coordonner les uns aux autres. Enfin, troisième variété d'équilibration (il en est d'autres), celle qui concerne le tout et ses parties, c'est-à-dire le mouvement de différenciation des dernières et le mouvement contraire d'intégration par lequel le tout cherche à se conserver et, donc, à conserver les parties qui le composent.

La thèse que va soutenir Piaget dans ce chapitre est celle selon laquelle, pour le vivant contrairement aux machines cybernétiques construites par l'homme, la régulation suprême est précisément la totalité organique que compose tout système vivant (thèse qui rejoint ou que rejoint celle de l'autopoïèse chère à H. Maturana et F. Varela). Un constat vient compléter cette thèse. En ce qui concerne la psychogenèse des systèmes cognitifs, l'un des moteurs principaux de l'équilibration est la dissymétrie initiale entre le positif (toute action est initialement positivement orientée, y compris lorsqu'il s'agit pour le jeune enfant de s'opposer à une action extérieure) et le négatif. L'une des caractéristiques les plus révélatrices du travail de l'équilibration au cours de la psychogenése est la construction des négations permettant à l'enfant de dépasser dépasser les nombreuses perturbations ou contradictions dues à ce déséquilibre initial, de combler les lacunes, de compenser progressivement ces perturbations et lacunes, donc dépasser les déséquilibres de départ – un processus qui aboutira finalement, mais cela n'est plus qu'une partie du problème, certes très importante du point de vue de l'explication de la raison, à la construction des structures cognitives durablement équilibrées de la raison opératoire, même si elles sont elles aussi appelées à être dépassées par des structures opératoires toujours plus puissantes créées au niveau toujours plus abstrait (au sens de l'abstraction réfléchissante) des sciences logico-mathématiques. Enfin, et dans le même sens, ce chapitre esquisse une morphologie des régulations qui offre l'intérêt de montrer comment, en effet, les opérations logico-mathématiques découvertes chez l'enfant et chez l'adolescent sont, ainsi que le remarquait le cybernéticien W. R. Ashby, des régulations parfaites au sens où chaque opération possède son inverse ou sa réciproque pour le sujet (dont le système cognitif opératoire concerné) qui la pense et traite les problèmes résoluble au moyen de ce système.

Ce deuxième chapitre confirme la nouvelle approche beaucoup plus concrète – basée sur l'examen de faits explicitement recueillis en vue d'étudier les mécanismes généraux de construction cognitive – que Piaget adopte dans cette étude sur l'équilibration, comparativement à la méthode adoptée dans "Logique et équilibre" (JP57). Ainsi annonce-t-il d'emblée, en première page de ce chapitre, l'utilité d'examiner comment l'équilibration "se déroule concrètement lors des interactions entre le sujet et les objets". Il s'agit de faits recueillis en particulier dans les recherches alors toutes récentes sur "La prise de conscience" et "Réussir et comprendre" (mais, aussi des fines observations recueillies par Inhelder, Sinclair et Bovet dans leur recherche sur "Apprentissage et structures de la connaissances", PUF, 1974). Ces faits sont réexaminés ici en rapport avec les questions (1) d'équilibration des observables sur l'objet et des observables sur l'action propre (= action propre du sujet agissant sur l'objet), (2) d'équilibration des coordinations inférentielles portant sur les actions propres et des coordinations attribuées par le sujet aux objets dans le contexte des explications causales, ou simplement appliquées aux objets réels ou symboliques), et enfin et surtout (3) de l'équilibration sous forme de cycles et de spirale de cette double équilibration des observables d'un côté, et des coordinations de l'autre.

Ce rapport aux faits recueillis pour mieux cerner les prises de conscience, les régulations de l'action, l'abstraction réfléchissante… mais aussi le rôle fécond des conflits cognitifs dans les constructions opératoires (voir opus cité de Inhelder et al. ci-dessus) n'empêche nullement Piaget d'avoir en vue, dans ce chapitre, les principaux résultats de l'épistémologie génétique concernant les mathématiques et les sciences physiques, qui éclairent les nouveaux modèles ici proposés de l'équilibration et de ses variétés, tout autant que ces modèles permettent d'approfondir, de mieux cerner les différences entre la pensée mathématique et la pensée physique.

La deuxième partie de ce chapitre contient une description des étapes des compensations qui permettent au sujet d'annuler les perturbations ou de dépasser les lacunes des systèmes cognitifs précédemment construits. Trois types de conduites sont en particulier distinguées: (1) les conduites alpha, annulant, rejetant ou ignorant l'élément perturbateur d'un système cognitif, (2) les conduites beta, intégrant cet élément et compensant son effet déstabilisateur, et enfin (3) les conduites gama, propres aux systèmes opératoires, qui permettent d'anticiper toutes les variations possibles.

Après la présentation générale de sa nouvelle conception de l'équilibration (majorante) exposée dans les deux premiers chapitres de son maître ouvrage de 1975, Piaget reconsidère dans ce troisième chapitre ses anciennes recherches sur le développement des structures sensori-motrices, perceptives et spatiales dans le but de démontrer dans le détail l'applicabilité du nouveau modèle par rapport aux faits connus. Il s'agit plus particulièrement de montrer dans ce chapitre que, dès le niveau des conduites sensori-motrices et perceptives, les constructions du sujet relèvent bien d'un d'un mécanisme d'équilibration, en d'autres termes que, de manière tout à fait générale, on y trouve à l'œuvre des régulations permettant aux schèmes d'annuler les déséquilibres résultant, par exemple, de leur défaut d'adaptation par rapport aux objets ou aux événements que le sujet cherche à assimiler (regarder, écouter, saisir, déplacer, modifier, etc.)… Notons toutefois que, en ce qui concerne l'application du modèle général exposé dans le deuxième chapitre aux faits observés dans les deux premières étapes de développement de l'intelligence sensori-motrice, ce modèle est adapté par son auteur pour tenir compte d'une caractéristique essentielle des conduites des premiers mois qui suivent la naissance: l'indifférenciation, pour le sujet lui-même, entre ce qui relève du soi (non encore reconnu) et du monde extérieur (en d'autres termes, des observables sur soi et des observables sur l'objet).

Dans ce chapitre, Piaget reconsidère les anciennes études sur la construction des quantités (illustrée ici par le développement de la notion de substance), de la quantification de l'inclusion logique et de la sériation logique en utilisant la nouvelle conception de l'équilibration exposée dans les précédents chapitre.

Voilà dans quels termes Piaget présentent ce chapitre au tout début de celui-ci: "L'équilibration des notions de conservation donne lieu à des problèmes complexes, traités trop sommairement en notre essai de 1957 (Logique et équilibre) comme s'il ne s'agissait que de probabilités de rencontre entre le sujet et les propriétés de l'objet, alors qu'il intervient des régulations compensatrices conduisant en particulier à la mise en correspondance des aspects positifs et négatifs des transformations." Ajoutons que Piaget s'intéresse beaucoup plus qu'il ne le faisait dans le passé aux conduites intellectuelles effectives par lesquelles le sujet peut être amené à résoudre les problèmes cognitifs que lui pose le traitement des quantités… On aperçoit également mieux, à la lumière de l'analyse des quelques exemples illustrant ce chapitre, ce que peut signifier, du point de vue de l'épistémologie génétique, la thèse de l'interaction sujet-objet, ainsi que la dialectique de l'équilibration entre les affirmations et les négations qui est l'une des causes majeures de la progression des connaissances et de la construction des structures opératoires.

Après avoir dans les chapitres précédents exposés son modèle d'équilibration dans lequel sont reliés en étapes successives et par des régulations de différents niveaux les observations sur l'objet et sur le sujet, ainsi que les coordinations relatives aux objets (causalité physique) et les coordinations logico-mathématiques propres au sujet, Piaget procède dans ce dernier chapitre, à une analyse fonctionnelle et psychologique serrée de la construction, par équilibration, des observables puis des coordinations.

Dans une première partie qui concerne les observables, il note que leur construction fait intervenir à la fois le "donné" perceptif et l'assimilation qu'en fait le sujet à travers l'activité de conceptualisation. On y apprend tout d'abord qu'à ses yeux le perceptible peut agir sur le sujet alors même que celui-ci le rejette. Une telle assimilation peut en effet conduire au début de la construction de la construction d'un observable à des conflits ou des contradictions que le sujet va alors chercher à éviter en refoulant ou en réprimant ce qu'à un certain niveau il a pourtant perçu, avant d'en arriver au contraire à dépasser ces conflits en transformant les schèmes d'assimilation cognitive ou de conceptualisation. Une telle analyse fonctionnelle et psychologique de l'activité du sujet dans sa confrontation avec le perceptible n'est pas sans évoquer l'approche freudienne. En un sens, Piaget ne fait ici que développer, en les différenciant à partir des faits recueillis dans les recherches des années 1970, les liens anciennement entrevus entre le fonctionnement de l'intelligence représentative et le fonctionnement de la pensée tel que Freud l'avait interprété dans le contexte de la vie affective de ses patients.

Toujours à propos de l'assimilation des observables, Piaget examine ensuite comment, dans une seconde étape dans laquelle l'enfant ne procède plus par refoulement, l'intervention des régulations compensatrices va aboutir à la constitution de prérelations (par exemple, à propos de la sériation de baguettes de longueurs différentes, par regroupement des différences et des ressemblances en catégories de plus en plus fines: les plus petites, alors rangées ensemble sans tenir compte de leurs différences, les un peu plus grandes, les encore un peu plus grandes, …, enfin les plus grandes) puis de relations entre observables (dans l'exemple de la sériation, la mise en relation de chacune des baguettes, de la plus petite à la plus grande, ou inversément, ce qui implique qu'une baguette peut être à la fois plus grande que la précédente et plus petite que la suivante, la transitivité de la relation asymétrique, etc.).

Dans une troisième étape, Piaget examine la progression des coordinations attribuées aux objets (donc de la causalité) ainsi que la progression des coordinations logico-mathématiques qui concernent le sujet. Là encore, Piaget s'arrête longuement sur le rôle des régulations et de leur caractère compensateur dans cette double progression des coordinations qui, pour les coordinations propres au sujet, aboutit à la construction de structures cognitives stables.

En définitive, en revenant sur le caractère essentiel de compensation propre aux régulations et mis en lumière tant sur le plan de la construction des observables et de leur mise en relation que sur celui des coordinations, Piaget parvient à dégager la raison pour laquelle les régulations propres à l'équilibration des structures cognitives expliquent la forme "finale" de ces structures. C'est que, de par ce caractère, les régulations elles-mêmes comportent une forme mathématique, forment qu'elles impriment d'une certaine manière aux contenus sur lesquelles elles portent. Sur le terrain de la construction logico-mathématique, il y a ainsi homogénéité totale entre l'outil (la régulation et sa forme logico-mathématique) et le produit de l'équilibration. Ou comme l'écrit Piaget, sur le terrain logico-mathématique, la régulation "ne revient qu'à modifier des formes en utilisant ses propres formes" (p. 166). Partout ou la régulation intervient, elle aboutit ainsi à introduire du logico-mathématique, y compris dans la réalité physique telle qu'elle est perçue et connue par le sujet.

Ce constat que dresse ainsi Piaget lui permet de justifier son affirmation déjà ancienne selon laquelle les opérations qui composent les structures opératoires ont leur source et ne sont que l'aboutissement des régulations observées dans les étapes qui précèdent leur apparition chez le sujet. Elles sont bien en ce sens des régulations parfaites, et elles comportent elles aussi ce caractère de compensation propres aux régulations en général (chaque opération voit son effet compensé par une opération inverse, réciproque ou corrélative, ce qui permet au sujet de retrouver tout état de pensée logique préalablement atteint; c'est là la réversibilité opératoire que Piaget a depuis longtemps identifiée comme étant le trait le plus caractéristique de la pensée logique).

Enfin, Piaget termine ce chapitre par une longue conclusion dans laquelle il insiste sur la dimension ouverte de toute construction cognitive, y compris en ce qui concerne les structures opératoires, qui sont sources de nouvelles possibilités de pensée, de nouveaux problèmes imprévisibles qui exigeront le dépassement de ces structures, la construction de nouvelles qui englobent les précédentes, ce qui explique le caractère à la fois novateur et orienté du développement cognitif et de l'histoire des sciences, etc.

Les réponses qu'apportent Piaget dans une première annexe aux objections que ses collègues du CIEG lui ont adressées lui permettent de préciser certaines thèses exposées dans les chapitres de cet ouvrage. Entre autre précision, on y trouvera la définition qu'il donne à la notion de compensation. En réponse à une objection concernant le caractère qui serait exclusivement descriptif de ses travaux sur l'équilibration majorante, Piaget donne les raisons fonctionnelles et structurales qui font, à ses yeux, de cette équilibration et de ses différents mécanismes une explication et même l'explication centrale de la genèse des structures cognitives. Cette réponse est d'autant plus intéressante qu'elle permet de prendre connaissance du "degré de scientificité" de sa conception, tant sur le plan de la description (= les faits, les observables) que de l'explication (= les déductions, les coordinations inférentielles reliant les faits les uns aux autres).

La deuxième annexe relie la notion d'équilibration cognitive aux recherches sur les correspondances, les morphismes et leurs transformations réalisées parallèlement au CIEG. Quant à la troisième annexe, elle révèle la similitude qui existe, selon Piaget, entre le mécanisme de phénocopie par lequel le génome d'une espèce en vient peu à peu à intégrer des adaptations qui se font d'abord sur le plan des adaptations individuelles, et la façon dont, sur le plan cognitif, les régulations se font d'abord par simple rejet ou réaction aux perturbations rencontrées par les schèmes de conduites et de conceptualisation, avant d'être peu à peu intégrées et compensées par des régulations dites beta, puis même d'être anticipées par les systèmes opératoires dans lesquelles chaque opération ou affirmation est mise en rapport, au sein même du système auxquelles elle appartient, avec son inverse ou sa réciproque.

Cette préface de Seymour Papert, l'un des très proches collaborateurs de Piaget, a un double intérêt. D'une part elle offre un témoignage direct de la vie scientifique telle qu'elle se déroulait au sein du CIEG, faite de collaborations entre des savants et des chercheurs qui, tout en suivant Piaget dans ses interrogations, apportaient des contributions reflétant leurs propres intérêts et personnalités. D'autre part, elle témoigne des liens essentiels établis par Piaget entre la construction de l'épistémologie génétique et les instruments que les mathématiques les plus fondamentales du 20e siècle lui offraient pour modéliser le fonctionnement et les structures de l'intelligence humaine, et, du même coup et en sens inverse, pour rechercher dans cette intelligence – et même par-delà celle-ci dans l'organisation vivante – les sources humaines et biologiques de la pensée et de la science mathématiques. Ce deuxième témoignage est important: Papert est l'un des rares mathématiciens a avoir su comprendre ce double lien établi par Piaget entre l'étude de l'enfant et le questionnement épistémologique sur la nature des êtres mathématiques, leur universalité, leur nécessité et leur fécondité.

Dans cette très brève introduction, Piaget introduit le problème de dégager les liens pouvant exister entre les transformations opératoires – objet de ces anciennes recherches sur la genèse de l'intelligence opératoire – et les "transformations morphismiques" qu'il définit comme l'activité par laquelle le sujet modifie ou engendre de nouveaux morphismes ou instruments de comparaison.

Dans ce chapitre, J. Piaget examine la progression en 3 étapes (intra, inter et trans) des correspondances entre états successifs d'un déplacement d'un objet pouvant prendre la forme: (1) d'une rotation orbitale de cet objet autour d'un foyer, (2) la circumduction de cet objet (la trajectoire de l'objet est la même que pour la rotation orbitale, sauf que l'objet reste toujours positionné de la même façon par rapport à l'enfant: le haut de l'objet reste le haut, la gauche reste la gauche, etc.), enfin (3) la rotation de l'objet autour de son propre centre, qui du point de vue des positions haut-bas, gauche-droite par rapport à l'enfant équivaut à une rotation orbitale.

Mise en parallèle avec une ancienne enquête psychogénétique (publiée dans JP46c) sur la représentation de la rotation d'une tige sur laquelle sont enfilées trois perles de couleurs différentes, l'étude de la maîtrise progressive des effets de la rotation du cube présentée dans ce troisième chapitre de "Morphismes et catégories" permet de mesurer le déplacement d'intérêt de Piaget et de ses collaborateurs entre les années 1940 où il s'agissait pour l'essentiel de retracer la genèse des opérations et des structures opératoires et les années 1970 où ce sont les processus constructifs qui sont l'objet d'attention première. La façon dont états (résultant de transformations échappant d'abord à l'attention du sujet), mises en correspondance de ces états, transformations, mises en correspondance de ces transformations, mises en correspondance des relations entre transformations, etc., prennent appui les uns et les unes sur les autres pour aboutir à des systèmes d'opérations et de morphismes permettant finalement au sujet de se représenter adéquatement et de pouvoir calculer et anticiper d'avance les configurations du cube résultant de ses rotations quelles qu'elles soient illustre tout à fait ce déplacement d'intérêt et le rôle que Piaget pressent pouvoir donner à la théorie mathématique des catégories pour saisir la dynamique de construction des instruments de comparaisons et de transformations caractéristiques de l'intelligence et de la pensée opératoires.

Dans ce chapitre, c'est toute la problématique des conservations de quantités infralogiques qui est révisée à la lumière de la dialectique correspondance/transformation. Les nouveaux instruments de modélisation ainsi que l'étude des mécanismes de développement permettent de mieux cerner le saut qualitatif de la pensée enfantine entre le début des opérations concrètes (vers 7-8 ans), période encore dominée par le concret, et l'enfant de la fin de la même période (vers 10-11 ans en moyenne) ou apparaissent les premiers indices de l'abstraction propre au formel…

Soit une ficelle enroulée autour d'un axe et dont les deux segments, avant et après l'axe ne sont pas de même longueur. Cette différence étant de longueur m, de combien faut-il faire diminuer le segment le plus long pour que les deux segments soient de longueur égale (dans cette situation qui est la plus simple de celle présentée dans ce chapitre, la solution est bien sûr de m/2, cela pour la même raison qu'en donnant 1 de ses 4 bonbons à son camarade qui en avait seulement 2, la différence de 2 est réduite à 0). Et de combien faut-il réduire le même segment le plus long si, au lieu que la ficelle soit enroulée une fois sur un seul axe, elle soit enroulée deux fois, trois fois ou quatre fois autour de deux axes (parallèles et placés à une distance telle que ce double, triple ou quadruple enroulement soit possible)?

En examinant les réponses anticipatrices et effectives apportées par des enfants de 5 à 16 ans à cette situations comme à une deuxième de même structure, ce chapitre illustre bien le pas franchit dans l'analyse des conduites préopératoires. L'attention se porte non plus sur les opérations ou les transformations opératoires (bien que celles-ci interviennent dans les comportements les plus avancés), mais sur les correspondances ou mises en correspondance de différents niveaux, intramorphiques, puis intermorphiques, enfin transmorphiques, ainsi que les compositions de correspondances intermorphiques et transmorphiques qui aboutissent à ces structures particulières de pensée que sont les catégories (au sens mathématique). On voit bien dans ce chapitre, comme dans les autres d'ailleurs, comment les concepts théoriques utilisés ici se construisent progressivement, en prenant certes appui sur les conceptions les plus abstraites de la mathématique contemporaine, mais aussi et peut-être surtout en examinant de près et de manière comparative les solutions apportées par les enfants et les adolescents à ce problème qui, déjà traité dans le passé, l'avait essentiellement été du point de vue de la maîtrise de la composition opératoire des additions et des soustractions.

Ce chapitre est intéressant en raison de l'apparente banalité et, malgré tout, de la difficulté du problème posé aux enfants et aux adolescents interrogés, à savoir prévoir les types de surfaces planes résultant des variétés de section que l'on peut faire d'un parallélépipède ou d'un cube. Alors que, face aux autres problèmes présentés dans cet ouvrage, les adolescents d'un niveau avancé se révèlent capables de de déductions transmorphiques, dans ce chapitre aucun sujet n'y parvient. La difficulté du problème posé permet ainsi de mettre le doigt sur les contraintes à vaincre (notamment des pseudo-nécessités posées par les sujets) pour parvenir à déduire l'ensemble des compositions possibles entre les correspondances en jeu.

Ce chapitre et la recherche qu'il expose comblent une lacune: au dire même de Piaget, cela fait plusieurs décennies ("un demi-siècle") qu'il cherchait à réaliser une enquête psychogénétique sur l'assimilation des relations de parenté chez l'enfant et l'adolescent! L'étude générale sur les correspondances, les morphismes et les catégories entreprise au CIEG dans les années 1970 lui a enfin permis de mener à terme ce projet, et ce pour deux raisons: 1° la découverte avec ses collaborateurs de situations-problèmes à poser aux enfants et adolescents sous une forme permettant d'atteindre les mécanismes en jeu dans l'assimilation progressive de ces relations; et 2° l'usage du cadre conceptuel apporté par la théorie mathématique des morphismes et des catégories comme instrument permettant de cerner ces mécanismes.

C'est ainsi tout le travail d'abstraction réfléchissante et de modélisation logique réalisé dans ses anciens travaux sur les groupements de multiplication co-univoque des classes et des relations (JP42) qui, d'une certaine façon, trouve ainsi une confirmation expérimentale quant à la réalité des opérations de multiplications co-univoques des classes et des relations chez l'enfant et l'adolescent.

Ce chapitre montre comment les correspondances transmorphiques peuvent être établies non seulement en conséquence d'une progression des compétences logico-mathématiques du sujet, mais aussi par la construction, par celui-ci, de modèles causaux permettant de déduire et même de constater les relations en jeu dans les phénomènes physiques.

Des enfants et adolescents de 9 à 15 ans sont confrontés à un problème dans lequel il s'agit de réaliser et d'équilibrer un système mécanique composé d'objets (des poids) plus ou moins lourds accrochés à des disques de rayon de plus en plus petits fixés sur un axe – chaque poids pouvant être suspendu à chaque disque de manière à orienter le mouvement réel ou virtuel de ce disque soit dans un sens soit dans l'autre. Les résultats observés révèlent qu'une bonne partie des enfants de 9 à 11 ans et plus ne parviennent pas à dépasser le niveau des correspondances intramorphiques (ils ne peuvent mettre en rapport l'effet de la différence de rayon des disques sur la force de chaque poids). Les correspondances transmorphiques entre effet des variations de rayon et effet des déplacements de poids d'un disque à l'autre ne pourront être constatées que chez des sujets ayant acquis les compétences opératoires leur permettant d'engendrer par calcul et déduction l'ensemble des combinaisons possibles entre choix des poids et choix des disques se traduisant par l'équilibre du système total. En ce qui concerne les correspondances intermorphiques observées chez plusieurs sujets, elles offrent l'intérêt de mettre en lumière le rôle joué par l'abstraction réfléchissante dans la construction des schèmes opératoires qui, finalement, permettront de résoudre le problème de "l'équilibre des moments en un système de disques coaxiaux".

Dans ce chapitre, les enfants et jeunes adolescents sont confrontés à des machines dont ils doivent décrire le mouvement qu'elles produisent et dont ils doivent comparer le fonctionnement. L'analyse porte pour l'essentiel sur la question de savoir dans quelle mesure les correspondances intra, inter et transmorphiques internes à chaque machine séparément sont en avance, en retard ou d'acquisition simultanée à la progression des comparaisons entre les machines. Si aux deux premiers niveaux intra et inter il y a avance ou simultanéité des correspondances internes à chaque machine sur la comparaison entre machines, au niveau III c'est le contraire et il apparaît que les correspondances entre machines peuvent dès lors guider la découverte des correspondances entre morphismes interne à chaque machine (morphismes internes qui, pour les machines utilisées dans cette étude psychogénétique, expriment à la fois des relations causales (forces agissant sur le mouvement) et des mécanismes régulateurs (dispositif freinant ces mouvements pour conserver une vitesse de déplacement constante).

Rédigé par Gil Henriques, philosophe et mathématicien, ce chapitre théorique à la fois très abstrait, synthétique et éclairant se base sur la distinction, introduite par l'auteur, entre invariant de remplacement et invariant de transformation. Les premiers, qui concernent les comparaisons d'objets ou de formes de tout niveau et donc en particulier les morphismes, ont leur source dans le processus d'assimilation et dans l'activité comparative qui en découle. Un même schème s'applique à différents objets qui, sous réserve des accommodations qu'ils nécessitent, offrent une équivalence fonctionnelle, une même "forme" par rapport au schème activé; d'où la notion d'invariant de remplacement proposée par Henriques pour caractériser ces objets, qu'ils concernent les réalités matérielles qui s'offrent aux schèmes d'action les plus élémentaires du sujet, ou les objets sur lesquels portent les morphismes mathématiques.

Quant aux invariants transformationnels, ils ont leur source dans l'action elle-même en tant que celle-ci n'entraîne pas seulement une assimilation d'un objet au schème d'action concerné, mais une modification ou une transformation de cet objet. Cette activité de transformation (et non pas simplement de comparaison), ainsi que les coordinations que le sujet est amené à introduire entre les transformations qu'il fait subir aux objets, sont à la source des structures opératoires et des invariants de transformation qu'impliquent nécessairement leur fermeture opérationnelle (comme l'illustre la construction des notions de conservation des quantités physiques et logico-mathématiques étudiées en épistémologie et en psychologie génétiques).

Mais ces deux familles d'activité assimilatrice et comparative, d'un côté, et de transformation, de l'autre, ne se développent pas sans que des liens s'établissent entre elles. L'application de l'activité comparative aux structures opératoires donnera en particulier naissance, au niveau de la science mathématique, à la théorie des structures mathématiques. Et en sens inverse, l'application des transformations opératoires (et des structures qu'elles composent) aux activités comparatives productrices des morphismes conduira dans les années 1940-1950 à la théorie mathématique des catégories. Par ailleurs, Henriques prend appui sur les résultats des enquêtes psychogénétiques exposées dans "Morphismes et catégories" pour souligner que de tels liens croisés entre activités de comparaison et leurs produits, d'un côté, et les activités de transformation et leurs produits, de l'autre, peuvent déjà se produire lors de la psychogenèse de la pensée opératoire chez l'enfant et l'adolescent.

Dans ce chapitre très abstrait, E. Ascher cherche à rendre manifeste la parenté profonde entre (1) la conception constructiviste développée en épistémologie génétique à partir de l'étude du développement de la pensée naturelle et (2) le "style catégoriel", c'est-à-dire la façon dont les mathématiciens recourent de manière thématisée ou non aux catégories ou à la démarche catégorielle (au sens de la théorie mathématique) dans leurs travaUX de construction de nouveaux êtres mathématiques.

Physicien de formation, excellent connaisseur de l'épistémologie des sciences, Ascher a travaillé de manière régulière au CIEG pendant les dernières années de recherches dirigées par Piaget, puis pendant les 2 ultimese années du Centre dirigées par Gil Henriques, après le décès de Piaget.

Piaget s'appuie sur les résultats des enquêtes exposées dans les chapitres précédents de cet ouvrage ainsi que sur l'examen fait par G. Henriques de la théorie mathématique des morphismes et des catégories pour relier entre elles, d'un côté les transformations opératoires avec les structures qu'elles composent, et de l'autre les compositions de morphismes ou "transformations morphismiques", génératrices de nouveaux morphismes ou instruments de comparaison.

Un passage de la première page de ces conclusion permet de capturer le sens profond de cette épistémologie génétique des morphismes et catégories (mathématiques) mise au programme du CIEG dans les années 1970: Piaget y rappelle la conception de L. Couturat (reflétant le platonisme de B. Russell) qui, dans ses travaux d'épistémologie de la logique et des mathématiques, critiquait la notion d'opération mathématique en la considérant comme anthropomorphique, car associant aux êtres mathématiques une activité humaine qui leur est extérieure, ces êtres ne comportant pas d'actions ou d'opérations, mais étant exclusivement composés de relations et de formes. Pendant longtemps Piaget, dans sa conception de la réalité mathématique, a pris le contre-pied de Couturat en privilégiant la conception, défendue par L. Brunschvicg, selon laquelle les êtres mathématiques sont un produit de l'activité humaine, c'est-à-dire que les actions et opérations logico-mathématiques engendrent le réel mathématique. Ce n'est que dès la fin des années 1960, en portant au programme du CIEG la notion de fonction mathématique, que Piaget a enrichi sa propre vision en concevant que l'activité intellectuelle ou que l'intelligence humaine se compose non seulement d'activités de transformations (des objets réels, représentés sur lesquels elles portent), mais également d'activités de mises en correspondance ou d'activités de comparaison. D'où ce programme de recherche sur ces dernières activités proposé par Piaget dans les années 70, programme qui le conduit à mettre en évidence, à un certain niveau de développement, des transformations morphismiques engendrant de nouveaux instruments de comparaison. Cette découverte soulève dès lors le problème de relier ces transformations aux transformations opératoires qui portent sur des contenus "extramorphiques", problème auquel ces conclusions apportent une ébauche de solution.

Notons également le caractère hautement ambitieux de ces conclusions qui englobent sous une même analyse comparative et avec le même appareil conceptuel des faits qui relèvent de l'épistémologie mathématique (relations entre structures opératoires et morphismes), des faits qui relèvent de la psychogenèse (activités opératives versus activités comparatives, et enfin des faits qui relèvent de la biologie (filiation des espèces biologiques versus homologies pouvant être établies transversalement entre, par exemple, les pattes antérieures des mammifères tetrapodes et les ailes des oiseaux). C'est la triple orientation de l'activité scientifique permanente de Piaget qui se retrouve ainsi réunies dans ces quelques pages: la biologie, la psychologie et l'épistémologie des sciences, d'où d'ailleurs le caractère très abstrait des propositions de l'auteur, mais dont il faut se souvenir qu'elles se rattachent chez lui à des décennies de recherches très concrètes en ces domaines, à l'exception des études nécessairement plus abstraites consacrées à l'épistémologie des sciences.

Enfin, les dernières pages de ces conclusions montrent comment Piaget s'appuie sur la théorie des "catégories" (au sens mathématique) pour enrichir son ancienne modélisation des groupements VI et X de multiplications co-univoques des classes et des relations (JP42).