[Texte de présentation: version du 12 oct. 2011.]

Dans ce texte issu d’une conférence donnée en 1955 dans le cadre d’un colloque sur les structures mathématiques et les structures psychologiques, Piaget apporte une réponse à la question épistémologique suivante: les êtres ou éléments sur lesquels portent les structures mathématiques préexistent-ils à ces dernières ou sont-ils le produit des opérations composant ces structures (par ex. les nombres par rapport aux opérations arithmétiques), en ce sens du moins que ces opérations conféreraient à ces éléments leurs propriétés essentielles (à moins qu’elles ne les construisent…). Comme toujours, c’est vers l’étude du développement cognitif de l’enfant que Piaget se tourne pour trouver des indices en faveur de l’une ou l’autre thèse.

En outre Piaget montre comment trois types de structures fondamentales dégagées par les mathématiciens bourbakistes, les structures algébriques, d’ordre et de voisinage, ont leurs sources dans le «fonctionnement psychologique des opérations intellectuelles» (p. 25) et, pour les deux premières, dans les structures opératoires qui les sous-tendent. En s’appuyant sur les analyses conduites dans son Traité de logique de 1949 (JP49), il souligne également que le processus de synthèse ou de coordination entre les trois structures-mères des mathématiciens et qui, selon ces derniers, est constitutif de nouvelles structures mathématiques, trouve également un correspondant au niveau de la psychogenèse. Les opérations interpropositionnelles de la logique des propositions prennent la forme d’une «double structure de groupe et de réseau» résultant, elle aussi, de la synthèse des opérations de la logique des classes, avec la forme de réversibilité —l’inversion— qui leur est propre, et des opérations de la logique des relations, avec la forme de réversibilité —la réciprocité— qui leur est propre. En effet, la structure algébrique propre qui sous-tend les opérations interpropositionnelles (soit le groupe INRC) «incorpore les réciprocités», et le réseau que composent les mêmes opérations «admet des opérations inverses».

Enfin, dans ses conclusions, Piaget apporte quelques suggestions que l’enseignement des mathématiques peut tirer des liens précédemment exposés entre les travaux des mathématiciens sur les structures mathématiques et les recherches de psychologie génétique sur le développement des opérations logico-mathématiques chez l’enfant.

[Texte de présentation. Version du 9 juillet 2010.]

Ce texte (qui sera prochainement mis à disposition) est la dernière des 13 causeries sur l'intelligence enregistrées par Piaget à la Radio Suisse Romande le 3 mars 1951. Dans cette Causerie 13, Piaget expose les conclusions épistémologique les plus générales qui peuvent être tirées à partir des résultats des enquêtes psychogénétiques sur l’accroissement des connaissances chez l’enfant et l’adolescent. L’étude de la genèse des connaissances permet de conclure que, contrairement à l’empirisme, qui conçoit la connaissance comme une copie d’une réalité préexistante et comme dérivant des sensations, et à l’apriorisme kantien, pour lequel les structures d’assimilation de la réalité seraient données dès le départ, c’est à travers ses actions sur l’objet et son accommodation à ce dernier que le sujet construit progressivement ces structures d’assimilation (l’apriori kantien ne se retrouvant plus que dans les «formes d’équilibre final qu’atteint la pensée dans tel ou tel domaine de connaissances», et non pas au départ de l'évolution cognitive).

(Le visiteur peut entendre l'exposé de Jean Piaget en cliquant sur le lien hypertexte ci-dessus.)

Dans une première partie de ses conclusions, Piaget montre, par une analyse logique des compositions opératoires en jeu dans les différents groupements logiques, les raisons pour lesquelles ceux-ci peuvent, à l'égal des structures de groupe de l'arithmétique, être considérés comme des groupements au sens mathématique: pour autant que l'on prenne comme élément non pas les opérations logiques isolées (addition, soustraction, multiplication et division logiques), mais les équations dans lesquelles celles-ci opèrent, on retrouve dans ces groupements des lois de composition similaires à, quelques restrictions près, à celles qui caractérisent les structures numériques. De façon symétrique la seconde partie des conclusions montre alors en quoi les propriétés d'associativité, de substitution, etc. qui caractérisent les équations logiques n'ont pas qu'une valeur formelle, mais caractérisent également les modalités réelles de fonctionnement de la pensée humaine à partir d'un certain niveau de développement.

Ce chapitre de synthèse prend position sur la nature des relations entre classes, relations et nombres. Piaget y montre comment les mécanismes communs de colligation, de sériation et de correspondance qui tous interviennent dans la constitution des classes, des relations (asymétriques) et des nombres se différencient en tant qu'ils composent soit des classes, soit des relations, soit des nombres. Selon que l'activité de pensée privilégie les qualités communes, ou au contraire la graduation (sans unité homogène) de ces qualités, ou bien enfin la quantification (au moyen d'unités homogènes) de cette graduation, il en résulte des classes, des relations (asymétriques qualitatives) ou des nombres. Cette analyse permet à Piaget de montrer les parentés et les différences entre les groupements d'opérations logiques et le groupe(ment) arithmétique, et de proposer une solution originale face au réductionnisme logique de Russell et à l'intuitionnisme de Poincaré qui insistait sur l'irréductibilité du nombre à la classe.

Piaget discute également dans ce chapitre la question de la fécondité et de la nécessité de la pensée logico-mathématique: la non-contradiction de cette pensée réside dans la "réversibilité des opérations qui la composent" et qui, en outre, assurent sa fécondité (p. 271; concernant la réversibilité, Piaget renvoie à son ouvrage de 1924 sur Le jugement et le raisonnement chez l'enfant, JP24_0). L'analyse qu'il propose des groupements de classes, de relations et de nombres révèle les raisons pour lesquelles les groupements de relations (asymétriques) sont plus féconds, plus riches en compositions, que les groupements de classes, et par ailleurs moins féconds que les compositions numériques.

Dans ce long chapitre, Piaget détermine "les conditions de passage des groupements logique I à VIII aux deux groupes arithmétiques" de l'addition des nombres entiers positifs et négatifs et de la multiplication des nombres positifs, entiers et fractionnaires. Il prend du même coup position contre les thèses logicistes de Russell et Whitehead, qui affirment définir le nombre à partir du concept de classes logiques. Pour Piaget au contraire, qui reprend et développe ici une thèse de Brunschvicg, de telles tentatives logicistes ne réussissent que dans la mesure où il est simultanément, quoique non explicitement, fait appel à la logique des relations asymétriques… Ce onzième chapitre contient aussi une section sur les cardinaux et les ordinaux transfinis, dont Piaget montre qu'ils obéissent, les premiers à la logique des classes (groupements I-IV), les seconds à la logique des relations asymétriques (groupements V-VIII), et non pas aux lois des groupes arithmétiques. Piaget y traite aussi de la structure des ensembles mathématique. La structure d'un tel ensemble découle des opérations qui le constituent et lui sont rattachées.

En définitive, cet examen des transfinis et des ensembles confirme le but ultime, à savoir épistémologique, des analyses logistiques et psychologiques auxquelles procède Piaget dans cet ouvrage fondamental. Ce but nous semble être atteint au terme d'un travail systématique d'abstraction réfléchissante réalisé sur les activités de mises en correspondance, de classification et de sériation qui sous-tendent et aboutissent aux équations décrites dans ce chapitre (et dans les précédents), ainsi qu'aux commentaires qui les accompagnent.

Dans ce texte, après avoir résumé les caractéristiques de la pensée formelle telle qu’elle a été découverte chez des adolescents genevois, Piaget expose trois hypothèses pouvant expliquer la non-généralisabilité de cette découverte à tous les adolescents de même âge, et même la possible absence de cette forme de pensée lorsque les conditions sociales ne permettent pas les échanges nécessaires à son développement. Une première hypothèse repose sur le caractère plus ou moins stimulant de l’environnement social dans lequel se développement la pensée de l’enfant et de l’adolescent. Les deux autres hypothèses reposent sur la spécialisation croissante des formes de pensée à partir de l’adolescence. Dans la deuxième hypothèse, seules certaines aptitudes et spécialisations aboutiraient à la construction de la pensée hypothético-déductive chez l’adolescent. Dans la troisième hypothèse, sauf exception, tous les adolescents vivant dans un environnement suffisamment stimulant auraient la possibilité d’atteindre la pensée formelle, mais pour certains, dans leur domaine de spécialisation seulement.

Le chapitre 12 n’a pas fait l’objet d’une relecture finale. Merci de nous faire part de vos remarques permettant de procéder à la révision de ce chapitre en envoyant un courriel...

Ce texte est une première version d’un chapitre d’un ouvrage en préparation. Vu son importance concernant l’épistémologie des systèmes biologiques et cybernétiques, nous avons décidé de le mettre en valeur sur le site de la Fondation Jean Piaget, en dépit de son inachèvement relatif.